Hallo Mathemagiker,
ich nehme mal an, Du meinst von \(i=1\) bis \(\infty\). Zu untersuchen sei also die Reihe $$\sum_{i=1}^{\infty}{\dfrac{1}{i(i+1)}}$$ Mit dem Wurzelkriterium wirst Du hier nicht weit kommen, denn $$\sqrt[i]{\dfrac{1}{i(i+1)}}=\dfrac{1}{\sqrt[i]{i}\cdot \sqrt[i]{i+1}}\underbrace{\longrightarrow}_{i\rightarrow\infty} 1$$ Auch mit dem Quotientenkriterium wirst Du nicht glücklich werden, denn $$\dfrac{\dfrac{1}{(i+1)(i+2)}}{\dfrac{1}{i(i+2)}}=\dfrac{i}{i+2}\underbrace{\longrightarrow}_{i\rightarrow\infty} 1$$ Wenn Du allerdings weißt, dass \(\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{i^2}}\) konvergiert (falls ihr das nicht verwenden dürft, notfalls einen Zwischenbeweis einschieben), dann kannst Du wegen $$\dfrac{1}{i(i+1)}=\dfrac{1}{i^2+i}\leq \dfrac{1}{i^2}$$ mit dem Majorantenkriterium argumentieren, dass diese Reihe konvergiert.
André
