Reihenkonvergenz oder Divergenz? Mit welchem Kriterium und warum? Reihe 1/(i(i+1)) für i = 1 bis unendlich?

Question

ich hänge hier an einer Aufgabe. Und zwar: konvergiert die Reihe 1/(i(i+1)) für i = 1 bis unendlich? Kann man das mit dem Wurzelkriterium lösen?

Comments

1/(i (i+1)) für i = 0 bis unendlich

macht wohl keinen Sinn, weil dann der Nenner 0 wird

---

macht wenig sinn ja. habe mich wohl vertippt.

---

Tipp:  Teleskopsumme

---

EDIT: @Mathemagiker: Habe "Reihe 1/(i(i+1)) für i = 0 bis unendlich? " zu "Reihe 1/(i(i+1)) für i = 1 bis unendlich? " korrigiert, da du dich vertippt hattest und die vorhandene Antwort auch von diesem Fehler ausgeht.

Answer 1

Hallo Mathemagiker,

ich nehme mal an, Du meinst von $i=1$ bis $\infty$. Zu untersuchen sei also die Reihe $$\sum_{i=1}^{\infty}{\dfrac{1}{i(i+1)}}$$ Mit dem Wurzelkriterium wirst Du hier nicht weit kommen, denn $$\sqrt[i]{\dfrac{1}{i(i+1)}}=\dfrac{1}{\sqrt[i]{i}\cdot \sqrt[i]{i+1}}\underbrace{\longrightarrow}_{i\rightarrow\infty} 1$$ Auch mit dem Quotientenkriterium wirst Du nicht glücklich werden, denn $$\dfrac{\dfrac{1}{(i+1)(i+2)}}{\dfrac{1}{i(i+2)}}=\dfrac{i}{i+2}\underbrace{\longrightarrow}_{i\rightarrow\infty} 1$$ Wenn Du allerdings weißt, dass $\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{i^2}}$ konvergiert (falls ihr das nicht verwenden dürft, notfalls einen Zwischenbeweis einschieben), dann kannst Du wegen $$\dfrac{1}{i(i+1)}=\dfrac{1}{i^2+i}\leq \dfrac{1}{i^2}$$ mit dem Majorantenkriterium argumentieren, dass diese Reihe konvergiert.

André

Comments

...  einen Zwischenbeweis einschieben  ...

Auf den bin ich gespannt.

---

Zu so später Stunde? Never ever:-) Ich vertröste Dich hierauf (Aufgabe 15.1, c.)).

---

Genau diese Dummheit habe ich erwartet.

---

Kannst Du mir das bitte erklären? Wenn Du an einem ausführlichen Beweis interessiert bist, wirst Du in einschlägiger Fachliteratur fündig. Oder Du gibst Dich hiermit zufrieden.

---

@ savest: man zeigt üblicherweise die Konvergenz der gegebenen Reihe mithilfe der Teleskopsumme, um dann daraus die Konvergenz der Summe über 1/n² zu folgern . Möchte man es anders herum zeigen, so muss man die Konvergenz der Summe über 1/n² über einen anderen Weg zeigen, um einen Kreisschluss zu verhindern.

---

einen anderen Weg zeigen

Auf den bin ich gespannt.

---

Verwende das Integralkriterium.

---

Hätte er diese Antwort auf meinen obigen Kommentar gegeben, hätte ich nicht von Dummheit gesprochen, sondern gefragt, was denn der Umweg soll und warum er das Integralkriterium nicht gleich auf die angegebene Reihe anwendet.

---

Den Umweg hab ich mir nicht ausgesucht , ich fahr ihn bloß zu Ende ;).

---

Mit "er" bist auch nicht du sondern ist s8 gemeint.

---