Hallo Mathemagiker,
ich nehme mal an, Du meinst von i=1 bis ∞. Zu untersuchen sei also die Reihe i=1∑∞i(i+1)1 Mit dem Wurzelkriterium wirst Du hier nicht weit kommen, denn ii(i+1)1=ii⋅ii+11i→∞⟶1 Auch mit dem Quotientenkriterium wirst Du nicht glücklich werden, denn i(i+2)1(i+1)(i+2)1=i+2ii→∞⟶1 Wenn Du allerdings weißt, dass ∑i=1∞i21 konvergiert (falls ihr das nicht verwenden dürft, notfalls einen Zwischenbeweis einschieben), dann kannst Du wegen i(i+1)1=i2+i1≤i21 mit dem Majorantenkriterium argumentieren, dass diese Reihe konvergiert.
André