Trigonometrische Identität Wurzel 2(1-cos(x)) = Wurzel(4sin^2(x/2)

Question

Ich komme nicht darauf wie aus Wurzel 2(1-cos(x)) = Wurzel(4sin^2(x/2) wird. 

nach einer Identität bekomme ich etwas mit 2sin(x/2) aber das ist irendwie falsch.

Answer 1

Hallo bluup, 

es gilt \(\cos{(x)}=1-2\cdot \sin^2{\left(\dfrac{x}{2}\right)}\). Zu zeigen ist die Identität $$\sqrt{2(1-\cos{(x)})}=\sqrt{4\sin^2{\left(\dfrac{x}{2}\right)}}$$ $$\Longleftrightarrow 2(1-\cos{(x)})=4\sin^2{\left(\dfrac{x}{2}\right)}$$ $$\Longleftrightarrow 2(1-(1-2\cdot \sin^2{\left(\dfrac{x}{2}\right)}))=4\sin^2{\left(\dfrac{x}{2}\right)}$$ $$\Longleftrightarrow4\sin^2{\left(\dfrac{x}{2}\right)}=4\sin^2{\left(\dfrac{x}{2}\right)}$$

André

Answer 2

Es gilt allgemein folgende Beziehung:

cos(x)= 1 -2 sin^2(x/2)

Damit kommst Du ans Ziel.