Wurzel ziehen: Was sagt dieser Beweis aus? ⁴√(16) = 2

Question

Ich habe grade was entdeckt. Wenn ich z.b die zweite Wurzel von 81 habe.

√81 = √ 3 * 3 * 3 * 3 = √ 3^4 = (3^4)^{1}/(2) = 9 

Jetzt die dritte Wurzel von 27 habe

∛27 = ∛ 3 * 3 * 3 = ∛3^3 = (3^3)^{1}/(3) = 3 

Jetzt die vierte Wurzel von 16 :

∜16 = ∜ 2 * 2 * 2 * 2 = ∜ 2^4 = (2^4)^{1}/(4) = 2 

Jetzt die fünfte Wurzel von 1024 :

(5)√ 1024 = (5)√ 2^10 = (2^10)^{1}/(5) = 4 

Ich habe gemerkt das bei der dritten Wurzel von 27, die 3^3 also die Basis sagt das die Lösung 3 ist.  Bei der vierten Wurzel von 16 auch 2^4, Lösung 2.

Also Frage : Kann man sagen das wenn der Exponent mit dem Wurzelexponenten übereinstimmt, die Lösung die Basis der Zahl ist.

Das letzte Beispiel hat den Exponenten 10 und die Lösungen ist NICHT 2.

Gegenbeispiel:

(5)√243 = (5)√( 3 * 3 * 3 * 3 * 3) = (5)√3^5 = 3

Ist was dran oder Zufall ?

Danke !

Answer 1

@JD

>  Kann man sagen, dass wenn der Exponent mit dem Wurzelexponenten übereinstimmt, die Lösung die Basis der Zahl ist?

Ja, denn

für a > 0  gilt  

ⁿ√(aⁿ)  =_{Def. x^{1/n}}  (aⁿ)^1/n  =_Potenzsatz   a^n·1/n  =  a¹  = a  

Gruß Wolfgang