Reihe zu a_(n):= 1/n^3 im Vergleich mit der harmonischen Reihe

Question

Moin Leute

eine kleine Frage sag ich mal,  ist die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^3}} \)

konvergent oder divergent, weil mich das bisschen verwirrt, weil wenn ich diese Reihe auch aufsummiere geht das ja auch bis unendlich und somit ist die Reihe eigentlich divergent sowie die harmonische Reihe aber es wird gesagt, dass die Reihe konnvergiert so wie die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^2}} \)

Kann mir das bitte einer erklären

!

Comments

Ja, ab \(\dfrac{1}{n^\alpha}, \;\; \alpha > 1\) ist sie konvergent.

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okay danke Dir !!

Answer 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%201%2Fn%5E3%2C%20n%3D1%20to%20infinity

Answer 2

Unendlich viele Summanden bedeutet nicht, dass die Reihe divergiert. Sonst würden ja alle Reihen divergieren.

Ein einfaches Beispiel:

\(\sum\limits_{k=1}^\infty 10^{-k}=0,1+0,01+0,001+\ldots=0,\overline 1=\dfrac{1}{9}\)

Bei der Reihe \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^3}}\) kannst du die Konvergenz so zeigen:

 Es gilt \(n^3\ge n^2\) für alle \(n\in\mathbb{N}\), also \(\dfrac{1}{n^3}\le \dfrac{1}{n^2}\).

Damit haben wir: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^3}}\le\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^2}}\).

Und da \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^2}}\) konvergiert, gibt es auch einen Grenzwert für \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^3}}\)

Comments

viieeelenn Dank für die ausführliche Erklärung !