Konvergiert die Reihe zur Folge an = (-1)^n / (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n)

Question

Konvergiert die Reihe zur Folge:

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{k}} $$

Im Zähler ist ja eine alternierende Reihe (1,-1,1,-1,usw.) und im Nenner geht die Folge gegen Null oder nicht?

Die Reihe divergiert also oder muss man da ein Kriterium anwenden? Bitte mit Begründung.

Answer 1

Alternierende Reihe stimmt.

Aber Nenner besteht aus immer mehr positiven Summanden.

Und die sog. harmonische Reihe hat den Grenzwert +∞.

Somit ist Zähler durch Nenner eine alternierende Folge mit Grenzwert 0.

Die Reihe zu dieser Folge konvergiert.

Comments

Dankesehr, habe nicht bedacht, dass im Nenner das Summenzeichen die Brüche zu unendlich addiert.