Bestimmen Sie die Partialsumme

Question

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Aufgabe 8 (4 Punkte)
Wir betrachten die Reihe
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right) . \)
(a) Bestimmen Sie die Partialsumme
\( S_{N}:=\sum \limits_{n=1}^{N}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)=\quad 2-\left(1+\frac{1}{N+1}\right)^{N+1} \)
für \( N \in \mathbb{N} \) mit \( N>2 \).
(b) Bestimmen Sie den Wert der Reihe
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)= \)
\( 2-\mathrm{e} \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich verstehe nicht wie ich auf a und b komme.

Answer 1

Aloha :)

$$S_N=\sum\limits_{n=1}^N\left(\left(1+\frac1n\right)^n-\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=1}^N\left(1+\frac1n\right)^n-\sum\limits_{n=1}^N\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=1}^N\left(1+\frac1n\right)^n-\sum\limits_{n=1\pink{+1}}^{N\pink{+1}}\left(1+\frac{1}{(n\pink{-1})+1}\right)^{(n\pink{-1})+1}$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=1}^N\left(1+\frac1n\right)^n-\sum\limits_{n=2}^{N+1}\left(1+\frac1n\right)^n$$$$\phantom{S_N}=\left(1+\frac1{\pink1}\right)^{\pink1}+\sum\limits_{n=\pink2}^N\left(1+\frac1n\right)^n-\sum\limits_{n=2}^{\pink{N}}\left(1+\frac1n\right)^n-\left(1+\frac{1}{\pink{N+1}}\right)^{\pink{N+1}}$$$$\phantom{S_N}=2-\left(1+\frac{1}{N+1}\right)^{N+1}$$

Für \(N\to\infty\) geht auch monoton \((N+1)\to\infty\), daher gilt:$$\lim\limits_{N\to\infty}S_N=2-\lim\limits_{N\to\infty}\left(1+\frac{1}{N+1}\right)^{N+1}=2-e$$

Answer 2

Schreibe mal die ersten Summanden der Summe auf. Fällt dir etwas auf? Stichwort Teleskopsumme.

Für den Grenzwert nutzt du einfach den Grenzwert der Eulerschen Zahl. Sollte man sofort sehen.

Answer 3

a) ist eine Teleskopsumme also fallen da viele Terme weg Bsp.

$$S_3=(1+1/1)-(1+1/2)^2+(1+1/2)^2-(1+1/3)^3+(1+1/3)^3-(1+1/4)^4=(1+1/1)-(1+1/4)^4=2-(1+1/4)^4$$

es wird also immer wieder was addiert was dann wieder subtrahiert wird.

Für die b) musst du $$\lim_{n \to \infty}S_n$$ bestimmen hierfür kann es helfen nochmal die Definition von e nachzuschlagen, denn dieser wird definiert als Grenzwert einer gewissen Folge die Ähnlichkeiten hat zu deiner.