Integralgrenzen und Flächenberechnung

Question

Aufgabe:

Die Tangente t mit der Gleichung t(x) = -10/3x -5/3 und der Graph G_f mit f(x) = 1/3x⁴ +2/3x³ -4x² -6x+ 9 begrenzen zwei Flächen vollständig. Ermitteln Sie den Inhalt der Gesamtfläche.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die Schnittpunkte berechnet und erhalte x1 = 2 (2 mal vorhanden -> Berührungspunkt) x2 = -2 (Schnittpunkt) und x3 = -4 (Schnittpunkt). Nun weiß ich jedoch nicht ob die Intervallgrenze von -4 bis 2 verläuft oder nur von -2 bis 2, da ich nicht verstehe, ob das Integral von -4 bis 2 schon 3 Flächen einschließt? Welche der beiden Integrale ist richtig? (siehe Bilder)

Answer 1

Differenzfunktion

d(x) = (1/3·x^4 + 2/3·x^3 - 4·x^2 - 6·x + 9) - (- 10/3·x - 5/3)

Nullstellen bzw. Schnittstellen

d(x) = (x^4 + 2·x^3 - 12·x^2 - 8·x + 32)/3 = 0 --> x = -4 ∨ x = -2 ∨ x = 2

Stammfunktion

D(x) = (2·x^5 + 5·x^4 - 40·x^3 - 40·x^2 + 320·x)/30

Gerichtete Einzelflächen

A1 = ∫ (-4 bis -2) d(x) dx = D(-2) - D(-4) = (- 232/15) - (- 64/15) = - 56/5

A2 = ∫ (-2 bis 2) d(x) dx = D(2) - D(-2) = (152/15) - (- 232/15) = 128/5

Gesamtfläche

A = |A1| + |A2| = 56/5 + 128/5 = 184/5 = 36.8 FE

Answer 2

"begrenzen zwei Flächen vollständig". In welchem deiner Bilder ist das denn der Fall?

Und beachte bitte, dass du die Integrale aufteilen musst.