F ist genau dann stetig, wenn f in 0 stetig ist.

Question

Aufgabe:

Sei f : R → R eine Funktion derart, dass fü alle x, y ∈ R stets gilt f(x+y) = f(x)f(y).

Zeigen Sie: f ist genau dann eine stetige Funktion, wenn f stetig in 0 ist.

Problem/Ansatz:

Meine Idee wäre es einen Beweis durch Gegenbeweis zu führen. Ich denke mir folgendes wenn ich folgende Annahme korrekt treffe.
Ich nehme an, dass die Funktion überall stetig ist, über ganz R.

So müssten für die beiden Seiten der Gleichung mit beliebigen x und y gleich sein. Das wird die aber nicht, da wir es auf der Rechten seite mit einem Produkt zu tun haben.

Meine Schwierigkeit wäre hier nun die korrekte Führung der Idee umzusetzen, denn ich denke, dass es ein guter Ansatz ist diese Aufgabe zu lösen.

Comments

Ich meine, dürfte ich die linke Seite der Gleichung einfach "auseinander" ziehen, es gilt doch das kommutativ Gesetz. Demnach ändert die Reihenfolge der Argumente nicht das Endergbnis. Das würde doch schon zeigen, dass die Gleichung nicht gilt, sondern nur gelten kann, wenn man die Stelle 0 betrachtet.

Answer 1

Sei \(f\) in 0 stetig. D.h.,$$\lim_{h\to 0} f(h) = f(0)$$

Jetzt sollst du also zeigen, dass für beliebige \(x\in \mathbb R\)  gilt:$$\lim_{h\to 0}f(x+h) = f(x)$$

Also rechnen wir einmal und nutzen die Stetigkeit bei 0:$$f(x+h) = f(x)\cdot f(h)\stackrel{h\to 0}{\longrightarrow}f(x)f(0) \quad (1)$$

Jetzt müssen wir nur noch schauen, was \( f(0)\) ist:

\(f(0) = f(0+0) = f(0)\cdot f(0)\Rightarrow f(0) = 0\) oder \(f(0) = 1\)

Wenn \(f(0)=0 \) gilt, ist \(f(x) = 0\) auf ganz \(\mathbb R\) und ist damit stetig.

Wenn \(f(0) = 1\) gilt, ist \(f\) wegen (1) auf ganz \(\mathbb R\) stetig.