Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen.

E1 : 2x2 + 4x3 − 1 = 0 und E2 : 4x1 − 2x2 − 3x3 + 8 = 0

die Lösung kenn ich aber der Rechenweg nicht.

Lösung:  Parametergleichung der Schnittgeraden: x = (-29/16,0,1/4)+t(2,16,-8)

Problem/Ansatz:

Hallo kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen?

Answer 1

\(   2x_2 + 4x_3 − 1 = 0 \)   und    \( 4x_1 − 2x_2 − 3x_3 + 8 = 0 \)

==>    \(  x_2 = -2x_3 +0,5 \)  und   \( 4x_1 − 2x_2 − 3x_3 + 8 = 0 \)

==>    \(  x_2 = -2x_3 +0,5 \)  und   \( 4x_1 − 2(-2x_3 +0,5 ) − 3x_3 + 8 = 0 \)

==>    \(  x_2 = -2x_3 +0,5 \)  und   \( 4x_1 +4x_3 -1  − 3x_3 + 8 = 0 \)

==>    \(  x_2 = -2x_3 +0,5 \)  und   \( x_1 =   −0,25 x_3 - 7/4  \)

Also werden beide Ebenengleichungen erfüllt von Punkten der Art

\( ( −0,25 x_3 - 7/4   ;  -2x_3 +0,5  ;  x_3 ) \)

bzw.  \( x= (  -7/4   ;  0,5  ;  0 )  +x_3 ( −0,25 ;  -2  ;  1 ) \)

und mit x_3 = -8 t gibt das

x = (  -7/4  ;  0,5  ;  0 ) +t(2,16,-8)   und für x3=0,25 bekommst

du auch den Punkt aus deiner Lösung (-29/16,0,1/4).

Answer 2

Löse das LGS (2 Gleichungen, 3 Unbekannte) bspw. mit Gauß und wähle eine der Variablen als \(t\). Das wird dann dein Parameter. Drücke dann alle Variablen mit Hilfe von \(t\) aus.

Comments

Können Sie bitte ein Beispiel geben?

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Schau mal unter

https://www.mathelounge.de/tag/schnittgerade

Da solltest du bestimmt genug Beispiele finden.

Answer 3

E1: 2·y + 4·z = 1
E2: 4·x - 2·y - 3·z = -8

Wähle z = r als Freiheitsgrad. Bestimme über E1, die Lösung für y

2·y + 4·(r) = 1 --> y = 0.5 - 2·r

Bestimme jetzt über E2 auch noch x.

4·x - 2·(0.5 - 2·r) - 3·(r) = -8 --> x = - 0.25·r - 1.75

Stelle jetzt die Lösung für x, y und z als Gerade auf

X = [- 0.25·r - 1.75, 0.5 - 2·r, r] = [-1.75, 0.5, 0] + r·[-0.25, -2, 1]