Question

Zeigen Sie, dass sich jedes reelle Polynom als Produkt von reellen linearen Polynomen und reellen quadratischen Polynomen schreiben lässt?

Answer 1

Ein komplexes Polynom P vom Grad n hat genau n komplexe Nullstellen - gegebenenfalls als mehrfache Nullstelle. Es besitzt dann die Zerlegung

$$P(z)=c\prod_{k=1}^n(z-a_k)$$m

mit den Nullstellen a_k und einer Konstanten c. Wenn eine der Nullstellen komplex ist, sagen wir \(a_m\), dann ist auch \(\overline{a_m}\) Nullstelle - siehe Deine andere Frage. In der genannten Zerlegung bilden diese beiden Faktoren ein reelles quadratisches Polynom:

$$(z-a_m)(z-\overline{a_m})=z^2-(a_m+\overline{a_m})z+|a_m|^2=z^2-2\Re(a_m)z+|a_m|^2$$