Aufgabe:
Text erkannt:
Es sei \( K \) ein Körper mit \( \operatorname{Char}(K) \neq 2 \) und \( (V, \Phi) \) ein endlich-dimensionaler \( K \)-Vektorraum mit einer symmetrischen, nicht-ausgearteten Bilinearform \( \Phi: V \times V \rightarrow K \) mit der Eigenschaft, dass für alle \( v, w \in V \backslash\{0\} \) ein \( c=c(v, w) \in K^{\times} \)existiert mit
\( \Phi(v, v)=c^{2} \cdot \Phi(w, w) . \)
Ferner sei \( f \in \operatorname{End}(V) \) ein Endomorphismus von \( V \), welcher nicht 0 ist. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) Für jeden Untervektorraum \( U \subset V \) gilt
\( f\left(U^{\perp}\right)=f(U)^{\perp} \)
b) Für alle \( v, w \in V \) gilt
\( v \perp w \Rightarrow f(v) \perp f(w) . \)
c) Für alle \( x, y \in V \) gilt
\( \Phi(v, v)=\Phi(w, w) \Rightarrow \Phi(f(v), f(v))=\Phi(f(w), f(w)) . \)
d) Es existiert ein \( a \in K^{\times} \), sodass für alle \( v \in V \) gilt
\( \Phi(f(v), f(v))=a \cdot \Phi(v, v) . \)
e) Es existiert ein \( a \in K^{\times} \)und eine Isometrie \( g:(V, \Phi) \rightarrow(V, \Phi) \) mit
\( f=a \cdot g . \)
Es sei K ein Körper mit Char(K) 6= 2 und (V, Φ) ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum
mit einer symmetrischen, nicht-ausgearteten Φ: V × V → K mit der Eigenschaft, dass für alle v, w ∈ V \{0} ein c = c(v, w) ∈ K× existiert mit Φ(v, v) = c2 · Φ(w, w) . Ferner sei f ∈ End(V ) ein Endomorphismus von V , welcher nicht 0 ist.
Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) Für jeden Untervektorraum U ⊂ V gilt f(U⊥) = f(U)⊥
b) Für alle v, w ∈ V gilt v ⊥ w ⇒ f(v) ⊥ f(w).
c) Für alle x, y ∈ V gilt Φ(v, v) = Φ(w, w) ⇒ Φ(f(v), f(v)) = Φ(f(w), f(w)).
d) Es existiert ein a ∈ K×, sodass für alle v ∈ V gilt Φ(f(v), f(v)) = a · Φ(v, v) .
e) Es existiert ein a ∈ K× und eine Isometrie g : (V, Φ) → (V, Φ) mit f = a · g.
Problem/Ansatz:
Von a nach b habe ich gezeigt. Danach hat es nicht mehr geklappt... Vielleicht sieht jemand ja, wie es weitergeht. Ziel: a -> b -> c -> d -> e -> a (Ringschluss)...
Danke für die Hilfe!
