Beispiele angeben für Endomorphismus, Bilinearform etc. mit gewissen Eigenschaften.

Question

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Aufgabe \( 6(10=3+3+4 \) Punkte). Geben Sie jeweils ein Beispiel an:
a) für einen nicht normalen Endomorphismus von \( \mathbb{R}^{n} \) mit dem Standardskalarprodukt,
b) für eine Bilinearform auf \( \mathbb{R}^{n} \) mit Signatur \( (1,2,0) \), deren Gram-Matrix in der Standardbasis keine Nulleinträge hat,
c) für eine quadratische Matrix ohne Nulleinträge, die Eigenwerte 1 und 2 hat.

Vergessen Sie nicht, in jedem Beispiel zu begründen, warum das angegebene Objekt die gewünschte Eigenschaft hat.

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Für Aufgabe a) habe ich die Idee, dass ein normaler Endomorphismus kommutiert, somit muss die Matrix die ich aufstelle genau dies nicht tun Genügt es hier einfach ein Beispiel für eine quadratische Matrix zu liefern, die nicht kommutativ ist? Für b) nehme ich an, dass die Vektoren der Basis keine Orthogonalbasis bilden dürfen, da sonst Nulleinträge in der Gram Matrix auftauchen müssen. Jedoch bekomme ich es nicht hin die Bilinearform aufzustellen, da ich ständig Nulleinträge in dieser habe, plus eine Standardbasis ist ja schon eine Orthonormalbasis...? Irgendwie ergibt das für mich keinen Sinn. Bei c habe ich genau dasselbe Problem, es hapert mit den Nulleinträgen. Kann mir jemand einen Ansatz liefern ? Danke im voraus!

Comments

Zu (c): Die gesuchte Matrix ist diagonalisierbar. Ein möglicher Ansatz wäre also eine symmetrische Matrix.
Die Spur der Matrix muss 3 sein. Wähle \(A=\begin{pmatrix}\frac32&x\\x&\frac32\end{pmatrix}\).
Die Determinante der Matrix muss 2 sein. Wähle \(x=\frac12\).

Answer 1

Für c)

Wähle eine beliebige reguläre Matrix S und bestimme die zugehörige Inverse.

Nutze dann die Ähnlichkeit von Matrizen aus.

$$\text{Berechne } SAS^{-1}, \text{wobei A die Matrix mit den gegebenen Eigenwerten ist} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Die daraus resultierende Matrix wird die geforderten Eigenwerte besitzen

Comments

Okay, aber warum würde das so funktionieren ? Ein bisschen unmathematisch gesprochen wäre S ja sowas wie eine Basiswechselmatrix für A. Warum trägt dann aber die resultierende Matrix D die Eigenwerte von S und nicht die von A? Es ist ja immerhin Matrix A die umgeformt wird...?

Vielleicht eine dumme Frage, aber ich beiß mal in den sauren Apfel :D