Zeigen Sie, dass \sin und \cos in x=0 stetig sind.

Question

Aufgabe:

(Die "Aussagen aus Aufgabe 1 Blatt 7" sind, dass sin(x) und cos(x) absolut konvergieren, dass wir diese als (gerade/ungerade) Teilfunktionen von exp(x) schreiben können und dass sin(x) ∈ [1, 1] und cos(x) ∈ [1, 1] für alle x ∈ R. )

Ich bräuchte nun einen Tipp bei der b) Zu meinem Ansatz:
(a)  Einfach mit der Definition der Stetigkeit in einem Punkt:
|sin(x) - sin(0)| = |sin(x) - 0| ≤ r_2N+3 (x) ≤ |x|^2N+3/(2N+3)! = 0 also lim_x→0sin(x) = sin(0) = 0

|cos(x) - cos(0)| = |cos(x) - 1| ≤ r_2N+2 (x) ≤ |x|^2N+2/(2N+2)! = 0 also lim_x→0cos(x) = cos(0) = 1

(b) Hier bin ich mir unsicher. Ich wollte erst den Beweis von exp(x) ist stetig in R verwenden, aber wusste nicht wie ich das mache. Also habe ich einfach wieder die Definition der Stetigkeit benutzt:

Für ein bel. a ∈ ℝ / {0} sei (x_n)n∈ ℕ eine Folge, die gegen a konvergiert. Dann ist (y_n)_{n∈ ℕ} := x_n-a eine Nullfolge. Mit (x_n)=sin(x_n) folgt dann: |sin(x_n) - sin(a) = |sin(a+y_n) - sin(a)| = | cos(y) sin(a) + sin(y) cos(a) - sin(a)| .. = 0?

Ich weiß jetzt nicht wie ich zeige, dass da am ende 0 rauskommt. Ist das Additionstheorem überhaupt der richtige Weg und kann ich "(y_n)n∈ ℕ := x_n-a = Nullfolge" da einbauen?

Liebe Grüße

Comments

Okay, Frage hat sich doch geklärt. ^^

Da yn eine Nullfolge ist, konvergiert sin(yn) gegen 0 und cos(yn) gegen 1 für n →∞.

Also | 1*sin(a) - 0*cos(a) - sin(a) = |sin(a) - sin(a) = 0