Wie prüft man hier die Differenzierbarkeit?

Question

Wie genau würde man diese Aufgabe lösen?

Text erkannt:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x):=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}, & \text { wenn } x \neq 0 \\ 0, & \text { wenn } x=0\end{array}\right. \). (6 P.) Berechnen Sie \( f^{\prime}\left(x^{*}\right) \) für jedes \( x^{*} \in \mathbb{R} \) und untersuchen Sie, ob \( f^{\prime} \) stetig auf \( \mathbb{R} \) ist.

Answer 1

Die Funktion ist für x>0 und für x<0 als Komposition von elementaren Funktionen definiert und kann dort nach den einschlägigen Differentiationsregeln abgeleitet werden. Im Nullpunkt dagegen muss man auf die Definition über den Differenzenquotienten zurückgreifen:

$$\frac{1}{h}(f(h)-f(0))=\frac{1}{h\exp(\frac{1}{h^2})}=\frac{1}{h(1+\frac{1}{h^2}+0.5\frac{1}{h^4} \ldots)}\leq \frac{1}{h\frac{1}{h^2}}=h \to 0$$

Also ist \(f'(0)=0\).

Um jetzt die Ableitung auf Stetigkeit zu prüfen, musst Du die Ableitungen für x<0 und x>0 berechnen und davon den Grenzwert im Nullpunkt bestimmen...