Hallo Mathelounge community,
Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte und mir sagen kann, ob die methode richtig ist oder ab man eine andere anwenden muss.
Danke im voraus!
Aufgabe:
Ableitungen
(a)
Weisen Sie die Differenzierbarkeit der folgenden Funktionen im gesamten Defintionsbereich nach und bestimmen Sie jeweils die ersten Ableitungen:
f1(x) : R>0 → R mit f1(x) = x(a^x)
f2(x) : R>0 → R mit f2(x) = x(x^a)
fur ein positives, konstantes a.
(b)
Zeigen Sie, dass die Ableitung
• einer geraden Funktion ungerade ist.
• einer ungeraden Funktion gerade ist.
Problem/Ansatz:
a1)
Ableitung:
Für die Funktion f1(x) = x^a^x, wo x > 0 und a ist eine positive Konstante, können wir die Ableitung mit der Kettenregel und der Regel von I Hopital berechnen. Die Ableitung ist gegeben durch:
f1'(x) = a^x * ln(a) * x^((a^x) -1) + a^x * x^a^x * ln(x)
DIfferenzierbarkeit:
Für die Funktion
f1(x)=x^a^x
,wo x>0 und a ist eine positive Konstante:
Die Funktion ist zusammengesetzt aus der Funktion
g(x)=a1 x
und der Funktion
h(x)=x1 y
,wobei y=g(x) . Beide Funktionen g(x) und h(x)
sind im gesamten Definitionsbereich differenzierbar. Daher ist auch die zusammengesetzte Funktion f1(x)
im gesamten Definitionsbereich differenzierbar.
a2)
Ableitung:
Für die Funktion f2(x) = x^a^x, wo x > 0 und a ist eine positive Konstante, können wir die Ableitung mit der Kettenregel berechnen. Die Ableitung ist gegeben durch:
f2'(x) = x^((x^a) - 1) * (x^a + a * x^(a-1) * ln(x) * x^x^a)
ab hier weiss ich nicht, ob es notwendig sein könnte, die Bedingungen für x und a weiter zu spezifizieren, abhängig von dem spezifischen Kontext.
DIfferenzierbarkeit:
Für die Funktion
f2(x)=x^x^a
,wo x>0 und a ist eine positive Konstante:
Die Funktion ist zusammengesetzt aus der Funktion
g(x)=x^a
und der Funktion
h(x)=x^y
,wobei y=g(x). Beide Funktionen g(x) und h(x) sind im gesamten Definitionsbereich differenzierbar. Daher ist auch die zusammengesetzte Funktion f2(x)
im gesamten Definitionsbereich differenzierbar.
(b)
Bei b war mein Problem, dass ich nicht genau wusste, ob man das durch umformungen oder Argumentation begründen soll.
Dachte es wäre ok, wenn man mit den definitionen arbeiten würde.
betrachten:
Die Ableitung einer geraden Funktion ist eine ungerade Funktion: Eine Funktion f(x) ist gerade, wenn gilt:
f(−x) = f(x).
Wenn wir die Ableitung dieser Funktion nehmen, erhalten wir
f′(−x)=−f′(x)
, was die Definition einer ungeraden Funktion ist.
Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion: Eine Funktion f(x)
ist ungerade, wenn gilt:
f(−x)=−f(x)
Wenn wir die Ableitung dieser Funktion nehmen, erhalten wir
f′(−x)=f′(x)
,was die Definition einer geraden Funktion ist.
