Differenzierbarkeit und erste Ableitung

Question

Ich soll für die Funktionen 1.1 f (x)= x/wurzel aus x^2-4 1.2 f (x)= (1+x)*wurzel aus 1-x^2 *3.wurzel aus 1+x^2 -Herausfinden welche x Element IR die Funktionen definiert sind - an welchen Stellen sie differenzierbar sind - und ableiten

Answer 1

1.1)

f ( x ) = x / √ ( x ² - 4 )

Nicht definiert genau dann, wenn gilt:

x ² - 4 ≤ 0

<=> x ² ≤ 4

 

<=> | x | ≤ 2

<=> - 2 ≤ x ≤ 2

Also:

D = { x | x < - 2 oder x > 2 }

 

f ( x ) ist stetig und differennzierbar auf ganz D

 

Berechnung der Ableitung:

f ( x ) = x / √ ( x ² - 4 ) = x * ( x ² - 4 ) ^{- 1 / 2}

Produktregel:

[ u * v ] ' = u ' * v + u * v '

u = x

u ' = 1

v = ( x ² - 4 ) ^{- 1 / 2}

v ' = ( - 1 / 2 ) * ( x ² - 4 ) ^{- 3 / 2} * 2 x  = - x * ( x ² - 4 ) ^{- 3 / 2} = - x / √ ( x ² - 4 ) ³

also:

f ' ( x ) =  1 * ( x ² - 4 ) ^{- 1 / 2} + x * - x * ( x ² - 4 ) ^{- 3 / 2}

= ( x ² - 4 ) ^{2 / 2}  * ( x ² - 4 ) ^{- 3 / 2} - x ² * ( x ² - 4 ) ^{- 3 / 2}

= ( x ² - 4 - x ² ) * ( x ² - 4 ) ^{- 3 / 2}

= - 4 / √ ( x ² - 4 ) ³

 

1.2)

f ( x ) = ( 1 + x ) √ ( 1 - x ² ) ³√ ( 1 + x ² )

Nicht definiert genau dann, wenn gilt:

( 1 - x ² ) < 0

<=> 1 < x ²

<=> | x | > 1

<=> x < - 1 oder x > 1

also:

D = { x | - 1 ≤ x ≤ 1 }

 

f ( x ) ist stetig auf ganz D und differenzierbar auf  D \ { -1 , 1 }

 

Berechnung der Ableitung:

f ( x ) = ( 1 + x ) √ ( 1 - x ² ) ³√ ( 1 + x ² )

Produktregel (für drei Faktorfunktionen):

[ u * v * w ] ' = u ' * v * w + u * v ' * w + u * v * w '

u = 1 + x

u ' = 1

v = ( 1 - x ² ) ^{1 / 2}

v ' = ( 1 / 2 ) * ( 1- x ² ) ^{- 1 / 2}

w = ( 1 + x ² ) ^{1 / 3}

w ' = ( 1 / 3 ) * ( 1 + x ² ) ^{- 2 / 3}

also:

f ' ( x ) = 1 * ( 1 - x ² ) ^{1 / 2} * ( 1 + x ² ) ^{1 / 3} + ( 1 + x ) * ( 1 / 2 ) * ( 1- x ² ) ^{- 1 / 2} * ( 1 + x ² ) ^{1 / 3}

+ ( 1 + x ) * ( 1 - x ² ) ^{1 / 2} * ( 1 / 3 ) * ( 1 + x ² ) ^{- 2 / 3}

= ...

=  ( - 8 x ⁴- 5 x ³ - x ² - x + 3 ) / ( 3 ( 1 - x ² ) ^{1 / 2} ( 1 + x ²) ^{2 / 3} )

 

[ Ok, ich geb's zu, das Ergebnis habe ich bei WolframAlpha abgeschrieben :-) ]