Gleichheit-Umformung Differenzierbarkeit einer Funktion und ihrer Ableitung

Question

Hallo zusammen,

ich bearbeite gerade die Folgende Aufgabe, jedoch habe ich meine Schwierigkeiten.

Sie lautet:

Sei f:(a,b) → R eine differenzierbare Funktion und f′:(a,b) → R ihre stetige Ableitung. Zeigen Sie, dass fürr zwei beliebige positive Nullfolgen $$(h_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ und $$(H_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ gilt:

$$f'(x_{0})=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(x_{0}+H_{n})-f(x_{0}-h_{n})}{h_{n}+H_{n}}$$.

Da f differenzierbar ist, existiert ihr Grenzwert. Also haben wir:

$$f'(x_{0})=\lim\limits_{h\to{0}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0)}}{h}, h≠0$$

Jetzt frage ich mich, wie ich das umwandeln muss? Ich ahne, dass man nett umformen muss, indem z.B. eine Nullfolge gegen h konvergiert. Ich dachte auch an eine Nullergänzung. Ich finde seit Stunden keine geeignete Umformung. Hat jemand eine Idee?

Comments

Die letzte Gleichung stimmt nicht. Das eine ist der Grenzwert des anderen.

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Danke, ich habe es eben geändert. Habe den Limes vergessen, so ist es jetzt wie in unserer Definition. :)

Answer 1

Wir wollen zeigen: \(\frac{f(x_{0}+H_{n})-f(x_{0}-h_{n})}{h_{n}+H_{n}}-f'(x_0) \longrightarrow 0\) für \(n\to\infty\).

Probiere folgende Umformung (hab die Schreibweise in offensichtlicher Weise etwas vereinfacht):

Mit \(D_H:=\frac1H (f(x+H)-f(x))\) und \(D_h:=\frac1h(f(x)-f(x-h))\) haben wir:

\(\frac{f(x+H)-f(x-h)}{h+H}-f'(x) = \frac{H}{h+H}(D_H-f'(x))+\frac{h}{h+H}(D_h-f'(x))\)

Dann Betrag nehmen, Dreiecksungleichung, \(\varepsilon\) usw.

Comments

Hi

Die Umformung habe ich gemacht und verstanden. Jetzt habe ich hier stehen:

\( \frac{H}{h+H} \)(D_H-f'(x₀))+\( \frac{h}{H+h} \)(D_h-f'(x₀))

= |\( \frac{H}{h+H} \)(D_H-f'(x₀))+\( \frac{h}{H+h} \)(D_h-f'(x₀))|

≤ |\( \frac{H}{h+H} \)(D_H-f'(x₀))| + |\( \frac{h}{H+h} \)(D_h-f'(x₀))|

Ich muss zugeben, dass das Epsilon Kriterium nicht mein Steckenpferd ist. Ich weiß, dass wir es benötigen, da wir den Grenzwert im Betrag abziehen und das gegen 0 konvergieren soll, was äquivalent dazu ist, dass der Bruch gegen f'(x₀) konvergiert.

Ich rate mal, dass ich jetzt meine Abschätzungen mit Epsilon machen soll?

Ich gehe mal mutig voran und behaupt das hier:

|\( \frac{H}{h+H} \)(D_H-f'(x₀))| + |\( \frac{h}{H+h} \)(D_h-f'(x₀))|

= |\( \frac{H}{h+H} \)|*|(D_H-f'(x₀))| + |\( \frac{h}{H+h} \)|*|(D_h-f'(x₀))|

= \( \frac{H}{h+H} \)*\( \frac{ε(h+H)}{2H} \)+\( \frac{h}{H+h} \)*\( \frac{ε(h+H)}{2h} \)

= \( \frac{ε}{2} \)+\( \frac{ε}{2} \)

= ε

Kann man das so machen? Was bringt mir jetzt die Aussage?

Man kann daraus doch jetzt folgern, dass

$$ f'(x_{0})=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(x_{0}+H_{n})-f(x_{0}-h_{n})}{H_{n}+h_{n}}$$
gilt, oder?

Ich bin gespannt auf deine Antwort:) LG

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Mutig ist gut, aber das geht so nicht. Von Anfang an:

\(|\frac{f(x+H)-f(x-h)}{h+H}-f'(x)| = |\frac{H}{h+H}(D_H-f'(x))+\frac{h}{h+H}(D_h-f'(x))|\le |\frac{H}{h+H}(D_H-f'(x))|+|\frac{h}{h+H}(D_h-f'(x))| \stackrel{H,h\ge 0}{=}\frac{H}{h+H}|D_H-f'(x)|+\frac{h}{h+H}|D_h-f'(x)|=(*)\).

Sei \(\varepsilon >0\). Nach Def. differenzierbar gibt es \(n_0\) so, dass für alle \(n\ge n_0\) gilt: \(|D_H-f'(x)|<\varepsilon\) und \(|D_h-f'(x)|<\varepsilon\).

Zur Erinnerung: \(H=H_n,\, h=h_n\).

Jetzt bring Du das ganze mal zu Ende, weiter also mit:

Damit ist für alle \(n\ge n_0\): \((*)...\).

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So ich glaube, dass ich es jetzt habe. Natürlich stand ich 30 Minuten vor deiner Aussage und habe mein Leben hinterfragt, aber müsst es nicht so sein(?):

....

Damit ist für alle n≥n₀:

\( \frac{H}{h+H} \)*|D_h-f'(x)| + \( \frac{h}{h+H} \)*|D_h-f'(x)|

< \( \frac{H}{h+H} \)*ε + \( \frac{h}{h+H} \)*ε

= \( \frac{H*ε+h*ε}{h+H} \)

= \( \frac{(H+h)*ε}{h+H} \)

= ε

Daraus folgt, dass der Bruch (vom Anfang) gegen f'(x) konvergiert. Quod erat demonstrantum :) Sollte so stimmen, oder?

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Ja. Drei Anmerkungen:

Am Anfang Tippfehler, das erste ist $D_H$, nicht $D_h$.

Durch Ausklammern kommt man direkt von der zweiten zur vierten Zeile. Wiederhole die elementaren Umformungen.

Und für nächstes Mal: der Malpunkt in LaTeX (kannst Du doch) ist \cdot, nicht *