Differenzierbarkeit einer Funktion deuten

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen :)

Ich habe eine etwas allgemeinere Frage zum Thema Differenzierbarkeit einer Funktion.

Ich habe eine abschnittsweise definierte Funktion gegeben, die auf ihrem Definitionsbereich stetig ist. Nun soll ich sie auf Differenzierbarkeit überprüfen. Da der eine Teil der Funktion für x ≥ 0 und der andere für x > 0 definiert ist, habe ich die Funktion auf diff'barkeit im Punkt x=0 untersucht (mithilfe des Differentialquotienten). Hier habe ich nun für die beiden Abschnitte zwei verschiedene Ergebnisse raus.

Meine Frage ist: Wenn das nun bedeutet, dass die Funktion am Punkt x=0 nicht differenzierbar ist, müsste das nicht gleichzeitig auch bedeuten, dass sie hier nicht stetig ist? Ich habe allerdings ja gegeben, dass sie überall stetig ist.

Kann mir jemand da weiterhelfen?

Vielen Dank und LG :)

Comments

Eine Funktion kann auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig aber dort nicht differenzierbar sein.
Ein bekanntes Beispiel dafür ist ƒ(x) = |x|. Es gibt sogar Funktionen, die auf ganz ℝ stetig, aber in keinem einzigen Punkt differenzierbar sind.

Answer 1

Stetigkeit impliziert keine Differenzierbarkeit. Betrachte die normale Betragsfunktion in 0. Allerdings folgt aus Differenzierbarkeit die Stetigkeit.