Aufgabe:
Eine reelle Funktion f ist stetig differenzierbar, falls ihre Ableitung f' existiert und stetig ist.
Sei $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definiert durch:
$$ f(x) = x^{a} sin(\frac{1}{x}) $$
und f(0) sei definiert als 0
(in der Aufgabestellung die Schreibweise mit { und Fallunterscheidung)
a) Bestimmen Sie, für welche $$ a \in \mathbb{N} $$ die Ableitung von f existiert, insbesondere bei x = 0.
b) Ist f' für a = 2 eine stetige Funktion
Problem/Ansatz:
Ich habe versucht mit Ketten- und Produktregel abzuleiten und kam auf:
$$ f'(x) = a \cdot x^{a-1} \cdot sin(\frac{1}{x}) + x^{a} \cdot cos(\frac{1}{x}) \cdot \frac{-1}{x^{2}} $$
Erstmal: Stimmt das so überhaupt? Kann man das so machen.
Zweitens: Hier habe ich ja den Fall für x = 0 noch gar nicht beachtet, was macht man da?
Drittens: Ich weiß nicht, wie ich weiter machen soll (Ansätze wären schonmal hilfreich)
