Stetige Differenzierbarkeit f:U→ℝ mit f(x_(1),x_(2)):=(x_(1)^{2}+x_(2)^{2})sin(1/sqrt(x_(1)^{2}+x_(2)^{2}))

Question

Bei folgender Aufgabe habe ich Probleme, sie zu lösen:

Auf U:=ℝ² \{(0,0)^T} betrachte f:U→ℝ mit f(x₁,x₂):=(x₁²+x₂²)sin(1/sqrt(x₁²+x₂²))
für alle (x₁,x₂)^T ∈ U. Zeige:
(a) f ∈ C¹(U) (also ein mal stetig diffbar).

(b) f ist zu einer auf ganz ℝ² diffbaren Funktion fortsetzbar.

(c) Die Fortsetzung von f aus (b) ist auf ℝ² nicht stetig diffbar.

Mein Problem hierbei ist, dass ich nicht weiß, was ich mit x₁ und x₂ anfangen soll, weil wir so eine Aufgabe in der Form noch nicht hatten...

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Stetige Differenzierbarkeit

Stichworte: differenzierbarkeit,stetigkeit,analysis

Folgende Aufgabe :

Auf U:=R2\{(0,0)T} betrachten wir f:U→R mit f(x1,x2):=(x1^2+x2^2)*sin(1/sqrt(x1^2+x2^2)) für alle (x1,x2)^T ∈ U. Zeigen Sie:
(a) f ∈ C1(U)

(b) f ist zu einer auf ganz R^2 stetig differenzierbaren Funktion fortsetzbar.
(x1,x2)T ∈ U. Zeigen Sie: (a) f ∈ C2(U).

(c) Die Fortsetzung von f aus (b) ist auf R2 zwar zweimal partiell differenzierbar, aber nicht zweimal stetig differenzierbar.
Tipp: Man vergleiche die Werte von ∂1∂2f(0,0) und ∂2∂1f(0,0).

Ich brauche Hilfe bei der Aufgabe ! Bitte um Hilfe bei teilaufgabe a) und b). Dankeschön

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Gibt es schon eine Lösung zu den Teilaufgaben? Vor allem b) würde mich interessieren.