Extremwetproblem fc(x)=sin^2(cx)-cos(cx)-1

Question

Die Tangente gc and fc in der Nullstelle schliesst mit der Gerade hc(x)= -cx/2 + pi*c/2 und der y-Achse Dreieck ein.

Zeigen Sie dass die Zielfunktion A(c)= pi^2/(48c) * (c+2)^2 die Flaecheninhalt dieses Dreiecks in Abhaengigkeit von c angibt.

Ich hab diese Tangente bestimmt:

y= cx - pi/2

Aber wie kann ich die Zielfunktion berechnen?  Wie waere die Flaecheninhalt hier? Die schnittpunkt * (hc(x)=0 - gc(x)=0) mal halbe ? als Gleichschenkliges Dreieck?

Danke

Answer 1

Vermutlich hat sich die Frage inzwischen erübrigt (mit etwas mehr Sorgfalt beim Stellen der Frage hätte vielleicht früher jmd. geantwortet), ich habe es interessehalber trotzdem einmal probiert:

Ich bin auf dieselbe Tangente gekommen (für die erste positive Nullstelle \(x_{1}=\frac{\pi}{2c}\), Angaben dazu welche der unedlich vielen Nullstellen verwendet werden soll, fehlen ja leider).

Das beschriebene Dreieck ist nicht gleichschenklig, für die Fläche ergibt sich für positive c (auch dazu fehlen leider jegliche Angaben) und die Schnittstelle von g und h bei \(x_s=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3c}\)

\( A(c)= \frac{1}{2}\cdot g\cdot h= \frac{1}{2}\cdot (h_c(0)-g_c(0)) \cdot x_s=\frac{\pi^2}{12c}\cdot(c+1)^2 \)

Also nicht ganz das richtige Ergebnis. Auch für die Nullstelle \(x_{2}=\frac{\pi}{c}\) komme ich auf ein anderes, als das angegebene Ergebnis: \( A(c)= \frac{1}{2}\cdot h_c(0) \cdot x_s=\frac{\pi^2}{4} \)

Plotten der Funktionen scheinen meine Ergebnisse zu bestätigen.