Für welche Biegemaße hat dieser Zylinder ein maximales Volumen?

Question

Aufgabe:

Ein 100cm-Draht soll zu einem U gebogen werden und dann um eine Achse rotieren, so dass ein Rotationszylinder entsteht. Für welche Biegemaße hat dieser Zylinder ein maximales Volumen?

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die Neben- und die Hauptbedingung aufgestellt, komme dann allerdings nicht weiter.

Nebenbedingung: x + 2 * y = 100

Hauptbedingung: V= pi * r^2 * h

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich würde bei der zu optimierenden Funktion und der Nebenbedingung dieselben Bezeichnungen verwenden:$$V(r;h)=\pi\,r^2\,h\quad;\quad 2r+2h\stackrel!=100\;\Leftrightarrow\;r+h=50$$

Nun können wir mit der Nebenbedingung eine Variable durch die andere ausdrücken:$$V(r;50-r)=\pi\,r^2\,(50-r)\eqqcolon f(r)$$

Nun können wir das Maximum von \(f(r)\) bestimmen:$$0\stackrel!=f'(r)=\left(50\pi\,r^2-\pi r^3\right)'=100\pi\,r-3\pi\,r^2=\pi\,r(100-3r)$$Bei \(r=0\) haben wir sicherlich das minimale Volumen gefunden, was uns hier nicht interessiert. Das andere Extremum liegt bei \(r=\frac{100}{3}\), sodass \(h=50-\frac{100}{3}=\frac{50}{3}\).

Der Draht muss also mit Abstand \(h=\frac{50}{3}\) zu jedem Ende hin gebogen werden. Das "U" ist dann \(\frac{200}{3}\,\mathrm{cm}\) breit und \(\frac{50}{3}\,\mathrm{cm}\) hoch.

Comments

Erstmal vielen Dank für die Rückmeldung.

Ich habe dies soweit jetzt aufgeschrieben, aber ich komme beim letzten Schritt

0= pi*r (100-3r) nicht weiter...

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Ich habe in dem Schritt davor \(\pi r\) ausgeklammert:

$$0=\cdots=100\pi r-3\pi r^2=\pi r\cdot(100-3r)$$

Da ein Produkt genau dann \(=0\) ist, wenn ein Faktor \(=0\) ist. haben wir hier zwei mögliche Nullstelen:$$\pi\,r=0\implies r=0$$$$100-3r=0\implies r=\frac{100}{3}$$

Bei \(r=0\) haben wir gar keinen Zylinder, so dass diese Lösung wegfällt. Also bleibt als Lösung nur \(r=\frac{100}{3}\) übrig.

Answer 2

Nebenbedingung: x + 2 * y = 100
Hauptbedingung: V= pi * r² * h

Es gibt eine Beziehung zwischen den Variablen x und y in der Nebenbedingung und den Variablen r und h in der Hauptbedingung. Finde diese. Dabei hilft eine Skizze in die du x, y, r und h einträgst.