Beweis Differenzierbarkeit der Funktion und Unstetigkeit der Ableitung

Question

Aufgabe:

Gegeben die Funktion f : R → R definiert durch f(x) = { x² * cos(1/x) + x   für x ungleich 0 ,

                                                                                       0                           für x = 0

a) zu zeigen: die Funktion f ist in jedem Punkt x ∈ R differenzierbar.

b) Berechne Ableitung und begründe, dass diese nicht auf R stetig ist.

Problem/Ansatz:

a) ich weiß dass man hierfür beweisen soll, dass die Ableitung existiert ( bzw. dass der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert) . Bis jetzt hatten wir nur Beispiele, in denen man die Differenzierbarkeit an einer einzelnen Stelle beweisen sollte. Hier muss man das für alle x ∈ R beweisen. Wie macht man das? Ich vermute mit Fallunterscheidung (x = 0 , x < 0 und x > 0 ) aber komme da irgendwie nicht weiter.

b) die Ableitung habe ich gerechnet ( ƒ´ = 2x cos (1/x) + sin(1/x) + 1  für x ungleich 0 ). Wie berechne ich die für x = 0?  ich vermute das geht nicht weil man ja begründen sollte, dass die Ableitung auf R nicht stetig ist also muss es irgendeine Stelle geben, wo die Funktion springt aber wie macht man das richtig?

Ich hoffe irgendjemand kann helfen. Danke !

Answer 1

Ich habe statt

ƒ´ = 2x cos (1/x) + sin(1/x) + 1  für x ungleich 0

aber

f'(x)= 2x cos (1/x) + sin(1/x)   / x^2  + 1  für x ungleich 0

und das hat bei 0 vor rechts und links unterschiedliche Grenzwerte,

kann also jedenfalls nicht stetig ergänzt werden.

Und die Ableitung an der Stelle 0 bestimmst du über

den Grenzwert des Differenzenquotienten. Das gibt f'(0)=1.

Comments

Hi, ich habe die Ableitung nochmal gerechnet ich komme trotzdem auf das was ich oben habe. Bist du sicher dass x hoch 2 sich nicht rauskürzen lässt ?

Und bezüglich der unterschiedlichen Werte rechts und links von null kannst du vielleicht genauer sagen wie man darauf kommt also ohne Graph ?

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Hast recht, da hatte ich mich vertan.

Und bei 2x cos (1/x) + sin(1/x) + 1

gibt es für x gegen 0 keinen Grenzwert;

denn verwende z.B. die Folge x_n = 1 / (2*n*pi)

Das ist eine 0-Folge und du hast bei

f ' (x_n) für n gegen unendlich den Grenzwert 1.

Aber bei   xn = 1 / (2*n*pi+pi/2)) gibt es den

Grenzwert 2.