Aufgabe:
Betrachte die Funktion \( f_{n}: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \) definiert durch
$$ f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{cc} (1-x)^{n} \sin \left(\frac{1}{x-1}\right) & \text { für } x \neq 1 \\ 0 & \text { für } x=1 \end{array}\right. $$
für \( n \in \mathbb{N}_{0}:=\mathbb{N} \cup\{0\} \)
(a) Beweise, dass \( f_{0} \) nicht auf ganz \( \mathbb{R} \) stetig ist.
(b) Beweise, dass \( f_{n} \) für \( n \geq 1 \) auf ganz \( \mathbb{R} \) stetig ist.
(c) Beweise, dass \( f_{0} \) und \( f_{1} \) nicht auf ganz \( \mathbb{R} \) differenzierbar sind.
(d) Beweise, dass \( f_{n} \) für \( n \geq 2 \) auf ganz \( \mathbb{R} \) differenzierbar ist.
(e) Beweise, dass \( f_{0}, f_{1} \) und \( f_{2} \) nicht auf ganz \( \mathbb{R} \) stetig differenzierbar sind.
(f) Beweise, dass \( f_{n} \) für \( n \geq 3 \) auf ganz \( \mathbb{R} \) stetig differenzierbar ist.
