Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Sin(x)

Question

Bonjour Leute. :D

Erstmal die Aufgabe

1. (Stetigkeit und Differenzierbarkeit) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} {\sin (x),} & {\text { für } x \geq 0} \\ {x,} & {\text { für } x<0} \end{array}\right. $$

Äh ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich mit dem sinus anfange, hätte da jemand eine Idee. Wäre echt nett :/

Wüsste jetzt nicht wie ich darangehe. Höchstens, dass man zuerst die Stetigkeit ausrechnet und dann die Differenzierbarkeit. Und wogegen lass ich Limes laufen? :/ Gegen 0 hätte ich gesagt aber das sin(x) verwirrt mich etwas ^^

Answer 1

Es geht darum ob die beiden Teilfunktion an der Nahtstelle x = 0
stetig und differenzierbar sind.
-Stetig : die Funktionswert der Teilfunktion sind an der Nahtstelle gleich
- differenzierbar : die Steigungen / 1.Ableitung sind gleich



Für x = 0 soll gelten
Stetigkeit
x = sin(x)
0 = sin(0)

Differenzierbarkeit
( x ) ´= ( sin (x ) )´
1 = cos(x) 
an der Stelle x = 0

Comments

siehe meinen Kommentar unter mathef's Antwort.

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Is was dran. Muss man wohl wirklich mit dem Diff.quot. machen.

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Langsam bin ich verwirrt von den 3 Antworten xD Aber trotzdem danke für die Hilfe ^^ 

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@Fragesteller
Langsam bin ich verwirrt von den 3 Antworten xD Aber trotzdem danke für die Hilfe ^^ 

Wenn du etwas an meiner Antwort nicht verstehst oder die ganze Frage nicht
verstehst kannst du gern weiter nachfragen. Du sollst nicht unwissend sterben.

@nick
Eigentlich hast du damit nur gezeigt, dass limx→0f′(x)=1
gilt; die Differenzierbarkeit im Punkt 0 selbst hast du nicht gezeigt.
Das sollte man noch begründen (z.B. mit dem Differentialquotienten).

Für wen ? Für dich ? 
Ich glaube nicht das es dem Fragesteller  beim Verständnis dieser Frage
irgendwie weiterhilft.
Die Probleme des Fragesteller scheinen doch irgendwie eine Stufe tiefer
zu liegen ( wo lasse ich den limes hingehen unendlich oder 0 ? ).

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Du hast in deiner Antwort nicht die Differenzierbarkeit gezeigt. Und darauf wollte ich dich hinweisen.

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Ich wollte jetzt keine Streitereien mit meiner Frage auslösen :D Ich find alle Antworten immer gut und hilfreich :D 

Ich hab nur irgendwie die Übersicht verloren womit ich nun anfangen soll ^^ 

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Stell einmal eine erste konkrete Frage was du nicht verstehst.

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Na generell das

Für x = 0 soll gelten 
Stetigkeit 
x = sin(x) 
0 = sin(0) 

Differenzierbarkeit 
( x ) ´= ( sin (x ) )´ 
1 = cos(x)  
an der Stelle x = 0

Du hast das so kurz gefasst aber so kurz, dass ich sagen würde, dass das die Lösung schon ist ^^ Aber ich kann mir halt nicht vorstellen, dass die Lösung so kurz sein soll ^^

Das mit der Stetigkeit habe ich ebenfalls so geschrieben wie du auf meinem Zettel aber ich habe automatisch im Kopf "das kann doch nicht alles gewesen sein" ^^ 

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x < 0 : x
x ≥ 0 : sin ( x )

Nahtstelle x = 0

Nachweis der Stetigkeit

Funktionswert linke Seite :
f ( x ) = x
f ( 0 ) = 0

Funktionswert rechten Seite :
f ( x ) = sin( x)
f ( 0 ) = sin ( 0 ) = 0

Die Funktionswerte sind gleich.
Der Nachweis wurde erbracht

Nachweis der Differenzierbarkeit

Steigung linke Seite :
f ( x ) = x
f ´( x ) = 1
f ´( 0 ) = 1

Steigung rechte Seite :
f ( x ) = sin( x)
f ´( x ) = cos ( x )
f ´( 0 ) = cos ( 0 ) = 1

Die 1.Ableitungen / Steigungen sind gleich.
Der Nachweis wurde erbracht.

Für eine Feinheit, die es bezüglich der Differenzierbarkeit
geht, bitte bei 10001000Nick1 nachfragen.

mfg Georg

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ah cool so verstehe ich auch die differenzierbarkeit! danke :)

Answer 2

Googel doch mal:   sin-Funktion.

Da findest du auch:  sin(0)=0 und wiel bei dir beide Funktionsteile

für x gegen 0 dann gegen 0 gehen ist f stetig bei x=0.

Abl. von sin ist cos und das geht bei x gegen 0 gegen 1 und

das andere Stück mit dem x hat auch die Abl.1.

Also auch differenzierbar bei x=0 .

Comments

Hm okay werds probieren ^^ 

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@mathef: Eigentlich hast du damit nur gezeigt, dass \(\lim_{x\to 0} f'(x)=1\) gilt; die Differenzierbarkeit im Punkt 0 selbst hast du nicht gezeigt. Das sollte man noch begründen (z.B. mit dem Differentialquotienten).