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Bonjour Leute. :D

Erstmal die Aufgabe

1. (Stetigkeit und Differenzierbarkeit) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} {\sin (x),} & {\text { für } x \geq 0} \\ {x,} & {\text { für } x<0} \end{array}\right. $$


Äh ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich mit dem sinus anfange, hätte da jemand eine Idee. Wäre echt nett :/

Wüsste jetzt nicht wie ich darangehe. Höchstens, dass man zuerst die Stetigkeit ausrechnet und dann die Differenzierbarkeit. Und wogegen lass ich Limes laufen? :/ Gegen 0 hätte ich gesagt aber das sin(x) verwirrt mich etwas ^^

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2 Antworten

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Beste Antwort
Es geht darum ob die beiden Teilfunktion an der Nahtstelle x = 0
stetig und differenzierbar sind.
-Stetig : die Funktionswert der Teilfunktion sind an der Nahtstelle gleich
- differenzierbar : die Steigungen / 1.Ableitung sind gleich

Bild Mathematik

Für x = 0 soll gelten
Stetigkeit
x = sin(x)
0 = sin(0)

Differenzierbarkeit
( x ) ´= ( sin (x ) )´
1 = cos(x) 
an der Stelle x = 0
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siehe meinen Kommentar unter mathef's Antwort.

Is was dran. Muss man wohl wirklich mit dem Diff.quot. machen.

Langsam bin ich verwirrt von den 3 Antworten xD Aber trotzdem danke für die Hilfe ^^

@Fragesteller
Langsam bin ich verwirrt von den 3 Antworten xD Aber trotzdem danke für die Hilfe ^^ 

Wenn du etwas an meiner Antwort nicht verstehst oder die ganze Frage nicht
verstehst kannst du gern weiter nachfragen. Du sollst nicht unwissend sterben.

@nick
Eigentlich hast du damit nur gezeigt, dass limx0f(x)=1
gilt; die Differenzierbarkeit im Punkt 0 selbst hast du nicht gezeigt.
Das sollte man noch begründen (z.B. mit dem Differentialquotienten).

Für wen ? Für dich ? 
Ich glaube nicht das es dem Fragesteller  beim Verständnis dieser Frage
irgendwie weiterhilft.
Die Probleme des Fragesteller scheinen doch irgendwie eine Stufe tiefer
zu liegen ( wo lasse ich den limes hingehen unendlich oder 0 ? ).

Du hast in deiner Antwort nicht die Differenzierbarkeit gezeigt. Und darauf wollte ich dich hinweisen.

Ich wollte jetzt keine Streitereien mit meiner Frage auslösen :D Ich find alle Antworten immer gut und hilfreich :D


Ich hab nur irgendwie die Übersicht verloren womit ich nun anfangen soll ^^

Stell einmal eine erste konkrete Frage was du nicht verstehst.

Na generell das


Für x = 0 soll gelten 
Stetigkeit 
x = sin(x) 
0 = sin(0) 

Differenzierbarkeit 
( x ) ´= ( sin (x ) )´ 
1 = cos(x)  
an der Stelle x = 0

Du hast das so kurz gefasst aber so kurz, dass ich sagen würde, dass das die Lösung schon ist ^^ Aber ich kann mir halt nicht vorstellen, dass die Lösung so kurz sein soll ^^

Das mit der Stetigkeit habe ich ebenfalls so geschrieben wie du auf meinem Zettel aber ich habe automatisch im Kopf "das kann doch nicht alles gewesen sein" ^^ 

x < 0 : x
x ≥ 0 : sin ( x )

Nahtstelle x = 0

Nachweis der Stetigkeit

Funktionswert linke Seite :
f ( x ) = x
f ( 0 ) = 0

Funktionswert rechten Seite :
f ( x ) = sin( x)
f ( 0 ) = sin ( 0 ) = 0

Die Funktionswerte sind gleich.
Der Nachweis wurde erbracht

Nachweis der Differenzierbarkeit

Steigung linke Seite :
f ( x ) = x
f ´( x ) = 1
f ´( 0 ) = 1

Steigung rechte Seite :
f ( x ) = sin( x)
f ´( x ) = cos ( x )
f ´( 0 ) = cos ( 0 ) = 1

Die 1.Ableitungen / Steigungen sind gleich.
Der Nachweis wurde erbracht.

Für eine Feinheit, die es bezüglich der Differenzierbarkeit
geht, bitte bei 10001000Nick1 nachfragen.

mfg Georg

ah cool so verstehe ich auch die differenzierbarkeit! danke :)

+1 Daumen

Googel doch mal:   sin-Funktion.

Da findest du auch:  sin(0)=0 und wiel bei dir beide Funktionsteile

für x gegen 0 dann gegen 0 gehen ist f stetig bei x=0.

Abl. von sin ist cos und das geht bei x gegen 0 gegen 1 und

das andere Stück mit dem x hat auch die Abl.1.

Also auch differenzierbar bei x=0 .

Avatar von 289 k 🚀

Hm okay werds probieren ^^

@mathef: Eigentlich hast du damit nur gezeigt, dass \(\lim_{x\to 0} f'(x)=1\) gilt; die Differenzierbarkeit im Punkt 0 selbst hast du nicht gezeigt. Das sollte man noch begründen (z.B. mit dem Differentialquotienten).

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