Stetigkeit und Differenzierbarkeit folgender Funktion zeigen. Betragsfunktion und Wurzel? f(x) = |x|^{0.25}

Question

Ich komme hier nicht weiter und würde gerne eure Hilfe beanspruchen.

Zu zeigen ist die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von:

$$f(x)=|x|^{0.25}$$

Stetigkeit und Differenzierbarkeit folgender Funktion zeigen. Betragsfunktion und Wurzel? f(x) = |x|^{0.25} 

Answer 1

(f(x+h ) - f(x))  /  h

=( |x+h|^0,25 - |x|^0,25 ) / h     erweitern mit  ( |x+h|^0,25+ |x|^0,25 ) gibt

=( |x+h|^0,5 - |x|^0,5 ) /   ( h *  ( |x+h|^0,25+ |x|^0,25 )  )   erweitern mit  ( |x+h|^0,5+ |x|^0,5 ) gibt

=( |x+h| - |x| ) /   ( h *  ( |x+h|^0,25+ |x|^0,25 ) *  ( |x+h|^0,5+ |x|^0,5 ))  

= |h|  /   ( h *  ( |x+h|^0,25+ |x|^0,25 ) *  ( |x+h|^0,5+ |x|^0,5 ))  

z,B. für h>0 und x>0 ist das gleich 

1  /   (  ( |x+h|^0,25+ |x|^0,25 ) *  ( |x+h|^0,5+ |x|^0,5 ))

und für h gegen 0 geht das gegen

1 / ( 2* |x|^0,25 ) *  ( 2* |x|^0,5 ))   =  1 / ( 4*x^3/4 )

Die anderen Fälle entsprechend.

Für x=0 nicht differenzierbar aber stetig.

Comments

Hallo mathef,

geht nicht auch

f ( x ) = |x|^{1/4}

normales differenzieren führt auch zu

f ´( x ) = 1/4 * |x|^{-3/4}
f ´( x ) = 1 / ( 4*x^3/4 )

Bei x = 0 ist eine Polstelle.

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dann aber so :

für   x>0     f ´( x ) = 1 / ( 4*x^3/4 )

für x<0       f ´( x ) = -1 / ( 4*(-x)^3/4 )

allgemein also  f ´( x ) = sign(x) / ( 4*|x|^3/4 ) außer x=0

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Damit ist gezeigt, dass die Ableitung an der Stelle x=0 nicht stetig sein kann, aber nicht, dass sie dort gar nicht existiert.