Wie wird die Änderung der Periodendauer einer Sinusfunktion mathematisch erklärt?

Question

Wenn man bei einer Sinusfunktion die Periodendauer verändern möchte, dann kann man das ja z.B. so machen:

Statt einer Periodendauer von 2π möchte ich jetzt z.B. eine Periodendauer von 4. Dann kann ich die Sinusfunktion ja umändern in :

sin(x/(4/2π))

Könnte jemand so nett sein und mir erklären, wieso man das einfach tun kann? Und kann man die 4 hier mit jeder beliebigen Zahl ersetzen, welche die Periodendauer darstellen soll?

Answer 1

Statt einer Periodendauer von 2π 

Eine Periodendauer von \(2\pi\) bedeutet

        \(\sin(x) = \sin(x + 2\pi)\) für jedes \(x \in \mathbb{R}\).

Sei \(p \in \mathbb{R}\) und

        \(f(x) = \sin(p\cdot x)\).

Dann ist

        \(\begin{aligned}f(x) &= \sin(p\cdot x)\\& = \sin(p\cdot x + 2\pi) \\&= \sin\left(p\cdot\left(x + \frac{2\pi}{p}\right)\right)\\&=f\left(x + \frac{2\pi}{p}\right)\end{aligned}\)

für jedes \(x\in \mathbb{R}\). Also hat \(f\) die Periodendauer \(\frac{2\pi}{p}\).

eine Periodendauer von 4

Wähle \(p\) in \(f\) so, dass \(\frac{2\pi}{p} = 4\) ist.

Comments

Das verstehe ich leider nicht. Würden + \( \frac{2π}{p} \) nicht nur zu einer Phasenverschiebung führen?