Stetigkeit und Differenzierbarkeit in 0: f(x):= x^2 *sin(1/x) für x ≠ 0.

Question

Ich habe die Grundlagen von stetigkeit und Differenzierbarkeit im Skript verstanden, weiß aber nicht genau wie ich an diese Aufgaben hier herangehen soll.
Ich wäre über Antworten / Ansätze dankbar

Comments

Ich bin leider immer noch nicht weiter gekommen. Ist hier niemand der mit der Aufgabe was anfangen kann?

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Bei (a): Kannst Du wenigstens für \(x\ne0\) etwas zur Stetigkeit von \(f\) sagen?

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da würde ich jetzt so argumentieren :
f ist stetig, da x^2 stetig ist und die sinusfunktion auch stetig ist

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Und was ist mit 1/x?

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ich dachte das muss ich in bezug auf die stetigkeit nicht beachten weil es ja im sinus steht

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Seltsame Idee. Man kann also jede, noch so komische, Funktion nehmen, den Sinus davorklatschen, und es wird stetig?

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ok, dann werde ich wohl noch zeigen müssen, dass 1/x stetig ist. Gibt es dazu eine tolle Regel oder muss man das berechnen?

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Rationale Funktionen sind such ueberall stetig, wo der Nenner nicht null wird.

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vielen dank! :)

nun muss ich ja bei b) einfach in die ableitungsformel einsetzen. die größte frage ist jetzt noch die d)

was mache ich mit dem "stetig differenzierbar" ?

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Vielleicht machst Du erstmal Teil a) fertig. Bis jetzt ist erkannt, dass f für x#0 stetig ist. Dass f auch für x=0 stetig ist, ist die eigentliche Aufgabe.

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wenn ich zeige das die funktion differentierbar in 0 ist, ist sie dann auch stetig in 0?

Wenn nicht, wie mache ich das?

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kann man das nicht mit dem folgenkriterium beweisen?

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Also ich meinem Skript steht: Ist eine Funktion differenzierbar in Punkt a , dann ist sie auch stetig in a.
Ich muss als hier die differenzierbarkeit zeigen

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wäre das denn nicht aufgabe c)?

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Wenn Du Scharfsinn verspruehen willst, kannst Du es auch so machen. Um die Problematik selbst kommst Du nicht rum, siehe dann d).

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ist es denn anders einfacher die stetigkeit bei 0 zu zeigen?

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Nein, es ist genau genommen sogar redundant, da Du ja f'(0) noch berechnen sollst. Ich wollte Dir nur schon mal mitteilen, dass das, worum Du Dich gerade druecken willst, trotzdem noch kommt. Ausserdem ist es elementar und sowieso zu koennen.

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ok. ich nehme jetz also lim h->0 (h*sin(1/h) = 0

damit wäre die Diffb. bei 0 gezeigt

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also beantwortet man damit schon aufgabe c)?

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ja. so ist es :)

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wie ist es nun mit der d?
es hat glaube ich irgendwas mit der n-ten Ableitung zu tun oder?

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Nur so als Tipp, auch wenn es ein mal funktioniert hat: Man beweist Stetigkeit i.A. nicht dadurch, dass man gleich die Differenzierbarkeit zeigt (was ja gar nicht gegeben sein muss). Vielleicht gibst Du einfach mal an, wie Dein Ergebnis für f' bis jetzt aussieht.

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also ich habe jetzt f ' = 2x*sin(1/x)-cos(1/x) und bin inzwischen soweit das ich weiß, dass ich die Funkrion f '(x) auf stetigkeit Prüfen muss. Da komme ich aber leider nicht weiter

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Ich dachte Deine Ergebnis waere inzwischen das da: $$f'(x)=\begin{cases}2x\sin(1/x)-cos(1/x)&\text{fuer $x\ne0,$}\\ 0&\text{fuer $x=0.$}\end{cases}$$ Jetzt wird die Frage gestellt, wo diese Funktion stetig ist. Wir sind also wieder bei Teil (a), bloss mit einer anderen Funktion.

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genau, nur das ich das jetzt besser nicht mit differenzierbarkeit in 0 mache sondern die stetigkeit normal bestimme. Nur wie geht das?

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Erstmal wieder so wie gehabt: was kann man ueber die Stetigkeit von \(f'\) für \(x\ne0\) sagen? Fuer \(x=0\) kannst Du dann ein Stetigkeitskriterium Deiner Wahl heranziehen.

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für x≠0 ist die Funktion stetig, aber für x=0 ist sie unstetig in x₀=0. ist damit dann gezeigt, dass die Funktion nicht stetig differenzierbar ist ?

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sitze auch an der aufgabe und bin zu gleichem schluss gekommen :)
Wie hast du denn bewiesen, dass f überall differenzierbar ist?

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Wie habt ihr die Stetigkeit bei der Ableitung geprüft?

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"Wie hast du denn bewiesen, dass f überall differenzierbar ist?"

sollte man das zeigen ? oder meinst du damit die (c) mit differenzierbar in 0 ?

"Wie habt ihr die Stetigkeit bei der Ableitung geprüft?"

für x≠0 habe ich argumentiert wie bei der (a). also eine Verkettung von stetigen Funktionen ist auch wieder stetig. und bei x=0 hab ichs mit ner folge gemacht x_n= 1/2πn

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theoretisch musst du zeigen dass f überall diffbar ist, jedoch ist das für den fall x ungleich 0 ja offensichtlich mit den einschlägigen regeln. produnkt, quotienten, ketten und sinus ist diffbar

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da du aber zeigst dass die ableitung nicht überall stetig ist, musst du diffbarkeit gar nicht mehr betrachten

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habe auch nur gezeigt, dass die ableitung unstetig in 0 ist und dadurch nicht stetig differenzierbar. mehr habe ich nicht gemacht, bei der (d) jedenfalls.

oder reden wir aneinander vorbei ?

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ne genau das meinte ich :)

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alles klar, war nämlich etwas verwirrt :)

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tut mir leid ^^
irgendwie sthe ich aber auf dem schlauch, wie ich beweise, dass es bei x=0 eine unstetigkeit gibt

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kein problem :D

so schlau bin ich natürlich selber nicht und habe ein bisschen im internet rumgeguckt :D und dann folgendes gefunden:

sei x_n = 1 / 2πn eine folge, die gegen 0 konvergiert:

f ' (x_n) = 2 * x_n * sin( 1/ x_n) - cos(1 / x_n) = -1 ≠ f ' (0)

=> f '(x) ist unstetig in 0 => nicht stetig differenzierbar

Hier z.B., wenn du ein bisschen runterscrollst kommst du zum Beispiel:  http://www.mathe-online.at/mathint/diff2/i.html#1

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Kein ding :D

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Ist einer von euch eigentlich bei den anderen Aufgaben weitergekommen? ^^

Beispielsweise 1 und 10?

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10 hab ich noch nicht versucht. 1 hab ich raus, dass es differenzierbar in 0 ist.

hast du noch was bei der 3 außer der (a) ?

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die 1 habe ich auch schon hier gefragt. müsste bei den aktuellen Fragen stehen. Die hab ich jetzt fertig. Die 10 ist unlösbar :(
Wenn da jemand was hat wäre ich dankbar für eine Lösung.

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dass die 1 dibbar in 0 ist sieht man ja auch, nur frage ich mich wie dies beweisen will

habe zuerst überlegt den rechten und linken grenzwert zu vergleichen, jedoch ist dies hier ja nicht gültig. man muss die beiden grenzwerte vergleichen wenn x rational und x irrational ist. habe aber keine ahnung wie das gehen soll

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hier der Thread mit der Lösung. Ich denke das stimmt so:

https://www.mathelounge.de/309638/differenzierbar-in-0-f-x-x-2-fur-x%E2%82%ACq

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warum ist das hier ungültig ? kannst doch einmal für x^2 betrachten und einmal für -x^2 ?

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http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=51584&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F

etwas weiter unten auf der seite

genauso habe ich mir das ja auch überlegt, jedoch gilt x^2 und -x^2 ja nicht für x aus den reellen zahlen, sondern x^2 für x aus den irrationalen und -x^2 aus den rationalen.

werde es jetzt auch so machen da ich es nicht anders hinbekomme ^^

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hat jetzt jemand von euch was zu: 3b-d, 10

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hmm...was ist denn wenn ich den limes von rechts + links jeweils für beide Funktionen betrachte ? hab dann zweimal für jeden fall, der dann natürlich immer noch 0 ist ?

sonst habe ich auch keine ahnung

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das habe ich mir auch überlegt.

dann würde ja auch einmal reichen. lasse es jetzt so und schau mal was der tutor dazu sagt ^^

Answer 1

Tipp zu a) Nimm eine beliebige Nullfolge und beachte das sin(1/x) beschränkt ist 
b) Einfach gewohnt produkt und Kettenregel anwenden