Beweis von min{rk(f),rk(g)} ≥ rk(f∘g)

Question

Zeige, dass man ≥ in min{rk(f),rk(g)}  ≥ rk(f∘g) nicht durch = ersetzen kann.

Zu zeigen ist ja also, dass es ein rk(f∘g) gibt, das echt kleiner ist. Wie muss ich da vorgehen?

Comments

Was ist rk(f)?  irgendwas über Fug bekannt?

lul

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f ist linear von W nach V und g ist linear von X nach W

Answer 1

Hallo,

so ein Beispiel lässt sich schon für \(f,g:\,\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) recht einfach konstruieren. Wie immer bei linearen Abbildungen reicht es, die Bilder der Basis zu definieren. Sei dazu also \((e_1,e_2)\) eine Basis von \(\mathbb R^2\) (z.B. die Standardbasis). Dann definieren wir \(f\) durch \(f(e_1)=0\) und \(f(e_2)=e_2\). Dazu jetzt folgende Fragen:

Was ist \(\mathrm{rk}(f)\)?

Was muss also \(\mathrm{rk}(f\circ g)\) sein?

Hast du dann eine Idee für \(g\)?

Gerne helfe ich weiter, falls du eine der Fragen nicht beantworten kannst.

LG Dojima

Edit: Ich interpretiere die Aufgabe so, dass \(f\) und \(g\) jeweils lineare Abb. zwischen Vektorräumen sein sollen.

Comments

Ich weiß leider nicht, was \(\mathrm{rk}(f\circ g)\) ist

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Ok, meine Fragen waren auch sehr ungünstig gestellt.
Ich wollte darauf hinaus, dass \(\mathrm{rk}(f\circ g)\) ja kleiner sein muss als das Minimum. Da \(\mathrm{rk}(f)=1\) ist das Minimum maximal 1 und \(\mathrm{rk}(f\circ g)\) muss daher 0 sein. Dazu muss man jetzt noch das passende \(g\) finden. Rang 0 heißt, dass \(f\circ g\) beide Basisvektoren auf 0 abbildet. Das erfüllt z.B. \(g(e_1)=e_1\) und \(g(e_2)=0\).

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Ah okay, vielen Dank