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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass rk(AB) ≤ min(rk(A), rk(B)) ist.


Problem/Ansatz:

Für l, m, n ∈ N seien A ∈ Rl×m \mathbb R^{l \times m }und BRm×n B \in \mathbb R^{m \times n}  Matrizen. Zeigen Sie, dass rk(AB) ≤ min(rk(A), rk(B)) ist.



Ich komme mit dem „min“ noch nicht ganz klar; wie gehe ich damit um?

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Ich benutze folgende Fakten zu Matrizen A,B,C:

rk(C)=dim(Bild(C))\operatorname{rk}(C) = \dim(\operatorname{Bild}(C)) - das ist auch oft die Definition des Ranges einer Matrix. Zum Beispiel ist Bild(A)=ARm\operatorname{Bild}(A) = A\mathbb R^m.

rk(C)=rk(CT)(1)\operatorname{rk}(C) = \operatorname{rk}(C^{T}) \quad (1)

(AB)T=BTAT(2)(AB)^{T} = B^{T}A^{T} \quad (2)

Los geht's:

BRnRmABRnARmrk(AB)rk(A)B\mathbb R^n \subseteq \mathbb R^m \Rightarrow AB\mathbb R^n \subseteq A\mathbb R^m \Rightarrow \operatorname{rk}(AB)\leq \operatorname{rk}(A)

ATRlRmBTATRlBTRmrk(BTAT)rk(BT)A^{T}\mathbb R^l \subseteq \mathbb R^m \Rightarrow B^{T}A^{T}\mathbb R^l \subseteq B^{T}\mathbb R^m \Rightarrow \operatorname{rk}(B^{T}A^{T})\leq \operatorname{rk}(B^{T})

(1),(2)rk(AB)rk(B)\stackrel{(1),(2)}{\Rightarrow} \operatorname{rk}(AB)\leq \operatorname{rk}(B)

Also:

rk(AB)min(rk(A),rk(B)) \operatorname{rk}(AB) \leq \min(\operatorname{rk}(A),\operatorname{rk}(B))

Avatar von 12 k

Zunächst erstmal frohes neues Jahr und vielen Dank fürs Beantworten!


Ich wusste nicht, dass man  ℝn⊆ ℝm sagen kann.

Dieses „min“ erschließt sich mir jedoch noch nicht. Weder in Vorlesung noch Google finde ich ne Erklärung dazu, was bedeutet das konkret?

Etwa, dass der Rang von AB kleiner oder gleich der größten „Spanne“ der einzelnen Ränge ist? Also vom kleinsten der einen Matrix bis zum größten der anderen.

Mein Gedanke dabei ist halt der Ansatz, dass l < m < n ist.

Ergibt das Sinn?

Der Ansatz l<m<nl<m<n funktioniert nicht. Die Aussage gilt für beliebige l,m,nl,m,n:RnBRm×nRmARl×mRl\mathbb R^n\stackrel{B\in \mathbb R^{m\times n}}{\longrightarrow}\mathbb R^m \stackrel{A\in \mathbb R^{l\times m}}{\longrightarrow}\mathbb R^l"min\min" bedeutet einfach Minimum. Zum Beispiel

ab,acamin(b,c)a\leq b, a \leq c \Rightarrow a\leq \min(b,c)In Worten: Wenn a kleiner oder gleich b und a kleiner oder gleich c ist, dann ist a auch kleiner oder gleich dem Minimum von b und c.

Aah, Dankeschön!!


Letzte Frage: bei Bℝn ⊆ ℝm hast du da B mit dem gesamten ℝn multipliziert, wodurch dann der ℝm resultiert? Oder kann man äquivalent dazu auch sagen, man kann mit beliebigen Vektoren aus ℝn multiplizieren, sodass ein Vektor aus ℝm resultiert?

BRnB\mathbb R^n ist eine Schreibweise für die Menge aller Vektoren im Rm\mathbb R^m, auf die BB abbildet - also das Bild von BB. Dies ist natürlich eine Teilmenge und sogar ein Unterraum von Rm\mathbb R^m. Es kann aber muss nicht der gesamte Rm\mathbb R^m das Bild von BB sein. Deshalb das Teilmengensymbol.

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