Zeigen Sie, dass rk(AB) ≤ min(rk(A), rk(B)) ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass rk(AB) ≤ min(rk(A), rk(B)) ist.

Problem/Ansatz:

Für l, m, n ∈ N seien A ∈ \( \mathbb R^{l \times m }\)und \( B \in \mathbb R^{m \times n} \) Matrizen. Zeigen Sie, dass rk(AB) ≤ min(rk(A), rk(B)) ist.

Ich komme mit dem „min“ noch nicht ganz klar; wie gehe ich damit um?

Answer 1

Ich benutze folgende Fakten zu Matrizen A,B,C:

\(\operatorname{rk}(C) = \dim(\operatorname{Bild}(C))\) - das ist auch oft die Definition des Ranges einer Matrix. Zum Beispiel ist \(\operatorname{Bild}(A) = A\mathbb R^m\).

\(\operatorname{rk}(C) = \operatorname{rk}(C^{T}) \quad (1)\)

\((AB)^{T} = B^{T}A^{T} \quad (2)\)

Los geht's:

$$B\mathbb R^n \subseteq \mathbb R^m \Rightarrow AB\mathbb R^n \subseteq A\mathbb R^m \Rightarrow \operatorname{rk}(AB)\leq \operatorname{rk}(A)$$

$$A^{T}\mathbb R^l \subseteq \mathbb R^m \Rightarrow B^{T}A^{T}\mathbb R^l \subseteq B^{T}\mathbb R^m \Rightarrow \operatorname{rk}(B^{T}A^{T})\leq \operatorname{rk}(B^{T})$$

$$\stackrel{(1),(2)}{\Rightarrow} \operatorname{rk}(AB)\leq \operatorname{rk}(B)$$

Also:

$$ \operatorname{rk}(AB) \leq \min(\operatorname{rk}(A),\operatorname{rk}(B))$$

Comments

Zunächst erstmal frohes neues Jahr und vielen Dank fürs Beantworten!

Ich wusste nicht, dass man  ℝⁿ⊆ ℝ^m sagen kann.

Dieses „min“ erschließt sich mir jedoch noch nicht. Weder in Vorlesung noch Google finde ich ne Erklärung dazu, was bedeutet das konkret?

Etwa, dass der Rang von AB kleiner oder gleich der größten „Spanne“ der einzelnen Ränge ist? Also vom kleinsten der einen Matrix bis zum größten der anderen.

Mein Gedanke dabei ist halt der Ansatz, dass l < m < n ist.

Ergibt das Sinn?

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Der Ansatz \(l<m<n\) funktioniert nicht. Die Aussage gilt für beliebige \(l,m,n\):$$\mathbb R^n\stackrel{B\in \mathbb R^{m\times n}}{\longrightarrow}\mathbb R^m \stackrel{A\in \mathbb R^{l\times m}}{\longrightarrow}\mathbb R^l$$"\(\min\)" bedeutet einfach Minimum. Zum Beispiel

$$a\leq b, a \leq c \Rightarrow a\leq \min(b,c)$$In Worten: Wenn a kleiner oder gleich b und a kleiner oder gleich c ist, dann ist a auch kleiner oder gleich dem Minimum von b und c.

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Aah, Dankeschön!!

Letzte Frage: bei Bℝⁿ ⊆ ℝ^m hast du da B mit dem gesamten ℝⁿ multipliziert, wodurch dann der ℝ^m resultiert? Oder kann man äquivalent dazu auch sagen, man kann mit beliebigen Vektoren aus ℝⁿ multiplizieren, sodass ein Vektor aus ℝ^m resultiert?

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\(B\mathbb R^n\) ist eine Schreibweise für die Menge aller Vektoren im \(\mathbb R^m\), auf die \(B\) abbildet - also das Bild von \(B\). Dies ist natürlich eine Teilmenge und sogar ein Unterraum von \(\mathbb R^m\). Es kann aber muss nicht der gesamte \(\mathbb R^m\) das Bild von \(B\) sein. Deshalb das Teilmengensymbol.