Dir auch ein frohes neues Jahr :)
Zunächst musst du Folgendes erkennen:
\(F'(x) = f(x)\)
Du musst gleich einige Tangentengleichungen bestimmen:
https://www.studienkreis.de/mathematik/tangentengleichung-bestimmen/
Die Tangente \(t(x)\) zu einer Funktion \(F\) am Berührpunkt \(P=(a,F(a))\) ist im Allgemeinen durch
\( t(x)=F'(a)\cdot x + b \) gegeben, du erkennst die klassische Form einer Gerade y=mx+b.
In der Aufgabe ist \( t(x)=f(a)\cdot x + b \), da \(F'(a)=f(a) !!!\)
Gefordert wird:
\(t_1(x) + t_2(x) + t_3(x) = t_4(x)\)
mit \(t_1(x)=f(1,2)\cdot x +b_1, ...\) erhältst du
\( (f(1,2) +f(2,1)+f(2,3))\cdot x +(b_1+b_2+b_3)=f(5,6)\cdot x +b_4\)
Wegen \(f(1,2) + f(2,1) + f(2,3) = f(1,2 + 2,1 + 2,3)=f(5,6)\) folgt:
\(b_1+b_2+b_3=b_4\quad (I)\)
Aktuell hast du also 4 Unbekannte, du musst drei davon bestimmen. Dazu musst du leider Tangentengleichungen bestimmen:
Damit \(t(x)\) die Funktion \(F\) am Punkt \(P=(a,F(a))\) berührt muss \(t(a)=F(a)\) gelten, also
\( t(a)=f(a)\cdot a + b=F(a) \)
So kann man \(b\) bestimmen:
\(a=1,2: \quad t_1(1,2)=f(1,2)\cdot 1,2 +b_1=F(1,2)=928,8+C\)
Umformen: \(b_1 =1382,4+C\)
somit \( t_1(x)=(-378)\cdot x+1382,4+C\)
Analog:
\(b_2=3704,4+C\) (Edit Korrektur)
Probiert man, das gleiche für \(b_3\) oder \(b_4\) merkt man, dass es zu einem störenden Bruch kommt.
Setzen wir unsere bisherigen Erkenntnisse in Gleichung \((I)\) ein und formen nach \(C\) um:
\(1382,4+C+1724,4+C+b_3=b_4\Leftrightarrow C=\frac12 \cdot (b_4-b_3-3106,8)\)
Jetzt musst du nur \(b_4-b_3\) bestimmen :)