Berechne / Berechnen Sie die Konstante C einer kubischen Stammfunktion F(x)

Question

Sehr geehrte Damen und Herren, hallo liebe Mathefreunde,

Problem/Ansatz:
bekannt sind die 3 Stützstellen 1,2 sowie 2,1 und 2,3
gegeben ist desweiteren die quadratische Funktion f(x) = 200x² - 2240x + 2022 ! mit der Beziehung f(1,2) + f(2,1) + f(2,3) = f(1,2 + 2,1 + 2,3)
Die dazu bekannte Stammfunktion ist F(x) = 200/3x³ - 1120x² + 2022x + C
1.) welchen Wert muss C haben, damit
   die Tangente t1(x) an der Stelle 1,2
+ die Tangente t2(x) an der Stelle 2,1
+ die Tangente t3(x) an der Stelle 2,3

= die Tangente t4(x) an der Stelle 1,2 + 2,1 + 2,3 ergibt ?
2.) wie lässt sich der Wert von C als kurze (Multiplikations)Formel beschreiben ?

Vielen Dank im voraus für Eure / Ihre Hilfe und einen guten Rutsch und bleibt / bleiben Sie alle gesund

Answer 1

Hallo Martin,

Die Aufgabe scheint ja schwerer zu sein, als sie anfänglich scheint ;-)

Eine Tangente $t(x)$ an einer Funktion $F(x)$ im Punkt $x=s$ ist nach der Punkt-Steigungsform$$t(x)= F'(s) (x-s)+ F(s)$$nun ist hier $F'(x)=f(x)$ und bei der Funktion $F(x)$ muss noch das $C$ addiert werden. Liegen also hier drei Stützstellen $s_k$ vor, an denen eine Tangente $t_k$ an der Funktion $F(x)+C$ anliegt, so lauten diese$$t_k(x)=f(s_k)(x-s_k)+F(s_k)+C \\ \phantom{t_k(x)}=f(s_k)x-\left(s_kf(s_k)-F(s_k)\right)+C$$weiter ist eine vierte Tangente an der Stelle $s_4=s_1+s_2+s_3$ gegeben$$t_{4}(x)= f\left(s_4\right)\left(x-s_4\right)+ F\left(s_4\right)+C\\ \phantom{t_{4}(x)}=f\left(s_4\right)x -\left(s_4f(s_4)-F(s_4)\right)+C ,\quad s_4=\sum\limits_{k}s_k$$und der Wert für $C$ soll so gewählt werden, dass die Summe der drei Tangenten gleich der vierten ist. Also:$$\sum\limits_{k}t_k(x) = t_{4}(x)$$Die Summe der drei Tangenten ist dann$$\sum\limits_{k} t_k(x)= \left(\sum\limits_{k} f(s_k)\right)x - \sum\limits_{k}\left(s_kf(s_k)-F(s_k)\right) +\underbrace{\sum\limits_{k}C}_{=3C}$$und nun alles einsetzen und nach $C$ auflösen. Dabei vereinfacht sich die Gleichung, weil die Summe der $f(s_k)$-Werte gleich dem Funktionswert an der Stelle $f(s_4)$ ist$$\begin{aligned} \sum\limits_{k} t_k(x) &= t_{4}(x) \\ \left(\sum\limits_{k} f(s_k)\right)x - \sum\limits_{k}\left(s_kf(s_k)-F(s_k)\right) +3C &= f\left(s_4\right)x -\left(s_4f(s_4)-F(s_4)\right)+C\\ -\sum\limits_{k}\left(s_kf(s_k)-F(s_k)\right) +3C &= -\left(s_4 f\left(s_4\right)- F\left(s_4\right)\right)+C\\ -\sum\limits_{k}\left(s_kf(s_k)-F(s_k)\right) +2C &= -\left(s_4 f\left(s_4\right)- F\left(s_4\right)\right)\\ 2C &= \sum\limits_{k}\left(s_kf(s_k)-F(s_k)\right) -\left(s_4 f\left(s_4\right)- F\left(s_4\right)\right)\\ C &= \frac12\left(\sum\limits_{k}\left(s_kf(s_k)-F(s_k)\right) -\left(s_4 f\left(s_4\right)- F\left(s_4\right)\right)\right)\end{aligned}$$Und bevor man jetzt mühsam vier Funktionswerte von $f(x)$ und vier von $F(x)$ berechnet, schaut man sich die Differenz $xf(x)-F(x)$ mal genauer an. Es gilt doch$$f(x)= a_1x^0+a_2x^1+a_3x^2=\sum\limits_{n=1}^{3} a_nx^{n-1}, \quad a_1=2022, \space a_2=-2240,\space a_3=200$$und da $F(x)$ die Stammfunktion von $f(x)$ ist, gilt für diese$$F(x)= a_1x+ \frac12 a_2x^2+\frac13 a_3 x^3=\sum\limits_{n=1}^{3}\frac{1}{n}a_nx^{n}$$und die Differenz vereinfacht sich somit zu$$\begin{aligned} xf(x)-F(x) &= x\sum\limits_{n=1}^{3}a_n x^{n-1} - \sum\limits_{n=1}^{3}\frac{1}{n}a_n x^{n}\\ &= \sum\limits_{n=1}^{3}a_n x^{n} - \sum\limits_{n=1}^{3}\frac{1}{n}a_n x^{n}\\ &= \sum\limits_{n=1}^{3}\left(a_nx^{n}-\frac{1}{n}a_n x^{n}\right) \\ &= \sum\limits_{n=1}^{3}\left(1-\frac{1}{n}\right)a_nx^{n} \\ &=\frac12 a_2x^2 + \frac23 a_3x^3 \\ &= \left(\frac12 a_2 + \frac23 a_3x\right)x^2, \quad a_2 = -2240,\space a_3=200 \end{aligned}$$die Gleichung ist demnach nicht mehr von $a_1=2022$ abhängig. Nun noch eine kleine Tabelle aufstellen$$\begin{array}{r|r}s_k& (-1120+400s_k/3)s_k^2\\\hline 1,2& -1382,40\\ 2,1& -3704,40\\ 2,3& -4302,5\overline{3}\\ 5,6& -11707,7\overline{3}\end{array}$$und die ersten drei Werte addieren und den vierten davon abziehen. Anschließend noch durch 2 dividieren gibt$$C= 1159,2$$zur Bestätigung des Ergebnisses habe ich das ganze in Desmos gegossen:

Du siehst hier den Graphen der Funktion $f(x)$ in rot und den der Stammfunktion $F(x)$ in lila, sowie die drei Tangenten an $F(x)$ in grün. Die Summe der drei grünen Tangenten ist die schwarze Gerade und die Tangente in $s_4$ ist gelb dargestellt. Nun kann man mit der Maus den Punkt $C$ nach oben schieben, bis die schwarze und die gelbe Gerade deckungsgleich sind.

Gruß Werner

Comments

Krass,und ich dachte meine Antwort wäre ausführlich :D

Wir kommen auf das gleiche Ergebnis, trotzdem ist deine Antwort auch für mich interessant gewesen. Danke :)

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Hallo lieber Werner-Salomon, hallo lieber Schatten_von_Jacob,

SUPER, der erste Teil ist mit dem korrekten Ergebnis richtig gelöst.

Jetzt noch der zweite Teil der Aufgabe und ist, wie ich finde, ein richtiger nachträglicher (Sylvester)Knaller:

C = 1159,2 ist nämlich das Produkt der Multiplikation von

1,2 * 2,1 * 2,3 * 200 !!

d.h. es sind alles Zahlen/Werte, die schon in der Aufgabe drinnen "versteckt" sind und nur richtig zusammengefügt werden mussten.

(das scheint immer dann zu funktionieren, wenn die Addition von 3 Stützstellen gleichzeitig die Extremstelle und Wendestelle ist, weil 200 ein variabler Faktor ist, der sich - je nach quadratischer Funktion - als Parameter des quadratischen Gliedes verändern kann.)

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C = 1159,2 ist nämlich das Produkt der Multiplikation von
1,2 * 2,1 * 2,3 * 200 !!

... das scheint immer dann zu funktionieren, wenn die Addition von 3 Stützstellen gleichzeitig die Extremstelle und Wendestelle ist, ...

was genau bringt Dich zu dieser Annahme? kannst Du das belegen?

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Hallo lieber Werner-Salomon,

1.) ich habe diese Multiplikation durch Probieren herausgefunden, weil ich wissen wollte, warum gerade dieses Ergebnis für C herauskommt. 2.) Ich habe in einer Excel-Datei verschiedene Szenarien rechnerisch durchprobiert und es funktionierte. Als Beleg müsstest Du mir 3 andere Stützstellen (am besten im I. Quadranten) nennen und dann meine berechneten Ergebnisse überprüfen. Leider bin ich ganz schlecht im Erklären, weil ich KEIN Mathematiker bin, sondern nur ein Laie und dieses für mich nur ein schönes Hobby ist. Darum auch die Bitte um Hilfe an Euch für meine Ideen! Wäre es deshalb für Dich okay, wenn wir den Beweis vielleicht erst einmal zurückstellen würden ? Vielen Dank im voraus für Dein Verständnis.

Darf ich DIR dennoch direkt die Folgeaufgabe stellen ? ODER muss ich diese als separate Aufgabe wieder ganz oben auf der Titelseite eingeben ?

Wir hatten bislang eine Integration mit Tangentenberechnung und jetzt folgt eine Differentiation mit Sekantenberechnung.

Wir nehmen wieder die bereits berechnete kubische Funktion 200/3x³ - 1120x² + 2022x + 1159,2. Ich nenne sie obere ? Funktion ? (anderer Begriff dafür ?). Jetzt soll eine untere Funktion gefunden werden, wobei als einziger Wert nur der lineare Wert, (hier 2022) verringert werden soll. g(x) = 200/3x³ - 1120x² - ?*x + 1159,2.

Differenziert ergibt sich dann logischerweise g´(x) = 200x² - 2240x - ? und ist eine Parallelverschiebung zu der quadratischen Funktion f(x) aus der vorherigen Berechnung. Welcher Wert muss für das Fragezeichen gefunden werden ?

Bedingungen;

alle 3 Stützstellen aus der vorherigen Berechnung 1,2 und 2,1 und 2,3 werden durch 3 Sekanten miteinander verbunden. Dann werden 3 parallele Sekanten gebildet, die durch die Stützstellen -2,3 und -2,1 und -1,2 und der Extremstelle verlaufen. Dadurch entstehen als Abstände zwischen den Sekanten 3 unterschiedliche Werte und die Addition aller dieser 3 Werte/Abstände ergibt wiederum den (Gesamt)Abstand zwischen der bereits bekannten quadratischen Funktion f(x) und der zu suchenden quadratischen Funktion g´(x). Ich hoffe, dass Du mir jetzt nicht böse bist, weil ich auf Deinen Wunsch nach einem Beweis nicht (noch nicht) eingegangen bin, ich diese Aufgabe einermaßen verständlich "rübergebracht" habe und würde mich sehr freuen, wenn Du Lust hättest, auch Diese Aufgabe für mich ebenfalls noch einmal zu berechnen. Bitte entschuldige vielmals, dass ich hier jetzt einen ganzen "Roman" geschrieben habe.

Noch einmal vielen Dank im voraus für Dein Verständnis. Ich freue mich schon jetzt auf Deine hoffentlich positive Antwort.

mit freundlichen Grüßen

Martin

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Darf ich Dir dennoch direkt die Folgeaufgabe stellen ? ODER muss ich diese als separate Aufgabe wieder ganz oben auf der Titelseite eingeben ?

es wäre wünschenswert, wenn Du für eine weitere Aufgabe einen neue Frage hier in's Forum stellst. Sonst wird das nachher zu unübersichtlich. Auch wächst dann die Wahrscheinlichkeit, dass Du auf Deine Frage eine vernünftige Antwort bekommst.

Ich denke schon mal drüber nach, aber mache bitte zu dem Thema eine neue Frage auf. Du kannst ja zusätzlich auf diese Frage verweisen.

Ich hoffe, dass Du mir jetzt nicht böse bist, weil ich auf Deinen Wunsch nach einem Beweis nicht (noch nicht) eingegangen bin, ...

Nein ich bin Dir überhaupt nicht böse - dafür gibt es keine Grund! Du hast meine Frage bereits hinreichend beantwortet.

Das ist ja Mathematik: man findet einen (scheinbaren) Zusammenhang und verfiziert ihn mit einigen Beispielen (hast Du mit Excel gemacht) und dann versucht man, es auch mathematisch zu beweisen.

Letzteres ist das schwierigste und es ist völlig legitim, da am Hilfe zu bitten.

Bitte entschuldige vielmals, dass ich hier jetzt einen ganzen "Roman" geschrieben habe.

da gibt's nichts zu entschuldigen. Wir freuen uns ja über jedes Feedback. Der Normalfall ist eher, dass hier Aufgaben eingestellt und auch beantwortet werden und dann hört man dann nie wieder was vom Fragensteller. Das ist eher frustrierend!

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Hallo lieber Werner-Salomon,

vielen, vielen Dank. Ich habe noch nie einen Profi getroffen, der soviel Verständnis für mich hat wie Du.

Ich werde eine neue Aufgabe stellen. Auch hierfür vielen Dank für Deinen Hinweis.

Zuerst aber noch eine Korrektur NUR FÜR DICH und eine kleine Korrektur zu meiner vorherigen Aussage ... das scheint immer dann ( ) zu funktionieren, wenn die Addition von 3 Stützstellen gleichzeitig die Extremstelle und Wendestelle ist, ...

... das scheint immer dann ( OPTIMAL FÜR FOLGEBERECHNUNGEN !! ) zu funktionieren, wenn die Addition von 3 Stützstellen gleichzeitig die Extremstelle und Wendestelle ist, ...

(Deshalb sind neben der Extremstelle / Wendestelle andere Stützstellen NICHT von Bedeutung und damit braucht man dann auch nicht zu rechnen.)

Ich schreibe dann noch eine Gegenprobe rein. Ist das dann vielleicht schon der Beweis ??

Auch für den kommenden II. Teil brauche ich keine LOGISCHE Hilfe. Er dient lediglich für Euch und nur zur Überprüfung der Richtigkeit. Erst danach in Teil III. brauche ich dann wirkliche Hilfe.

Also bis gleich.

Ich freue mich sehr.

Vielen Dank im voraus

Tschüß Martin

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Ich schreibe dann noch eine Gegenprobe rein. Ist das dann vielleicht schon der Beweis ??

Nein - eine Gegenprobe - im dem Sinn, dass man eine Stelle wählt, die kein Extremum/Wedestelle ist - ist noch lange kein Beweis.

Mal angenommen, da ist Stall voll mit Schafen und im Stall ist es dunkel. Du möchtest "beweisen", dass alle(!) Schafe in diesem Stall weiß sind. Dazu holst Du Dir erst eines und dann noch ein paar Schafe aus dem Stall und diese Schafe sind alle weiß. Das heißt nicht, dass alle anderen Schafe im Stall auch weiß sind.

Gegenprobe: Du holst ein Schaf aus einem benachbarten Stall und dieses ist schwarz. Das heißt doch noch lange nicht, dass die Schafe im ersten Stall nun alle(!) weiß sind - oder?

Gruß Werner

Answer 2

1.) die Tangente t₁(x) an der Stelle 1,2 + die Tangente t₂(x) an der Stelle 2,1+ die Tangente t₃(x) an der Stelle 2,3 hat die Gleichung T₁₂₃(x)=2·(1831 - 2200x). Die Tangente an der Stelle 1,2+2,1+2,3 hat die Gleichung y=4250.

Comments

Vielen Dank, aber wie kommen die 2 Gleichungen zustande ? Können Sie dieses bitte noch einmal ausführlicher erläutern ? Ich habe hin und her gerechnet, aber bin immer noch nicht schlauer geworden. Warum ist die zweite Gleichung y=4250 keine lineare Funktion (so wie bei der ersten Gleichung) ? Nochmals vielen Dank im voraus.

Answer 3

Dir auch ein frohes neues Jahr :)

Zunächst musst du Folgendes erkennen:

$F'(x) = f(x)$

Du musst gleich einige Tangentengleichungen bestimmen:

https://www.studienkreis.de/mathematik/tangentengleichung-bestimmen/

Die Tangente $t(x)$ zu einer Funktion $F$ am Berührpunkt $P=(a,F(a))$ ist im Allgemeinen durch

$t(x)=F'(a)\cdot x + b$ gegeben, du erkennst die klassische Form einer Gerade y=mx+b.

In der Aufgabe ist $t(x)=f(a)\cdot x + b$, da $F'(a)=f(a) !!!$

Gefordert wird:

$t_1(x) + t_2(x) + t_3(x) = t_4(x)$

mit $t_1(x)=f(1,2)\cdot x +b_1, ...$ erhältst du

$(f(1,2) +f(2,1)+f(2,3))\cdot x +(b_1+b_2+b_3)=f(5,6)\cdot x +b_4$

Wegen $f(1,2) + f(2,1) + f(2,3) = f(1,2 + 2,1 + 2,3)=f(5,6)$ folgt:

$b_1+b_2+b_3=b_4\quad (I)$

Aktuell hast du also 4 Unbekannte, du musst drei davon bestimmen. Dazu musst du leider Tangentengleichungen bestimmen:

Damit $t(x)$ die Funktion $F$ am Punkt $P=(a,F(a))$  berührt muss $t(a)=F(a)$ gelten, also

$t(a)=f(a)\cdot a + b=F(a)$

So kann man $b$ bestimmen:

$a=1,2: \quad t_1(1,2)=f(1,2)\cdot 1,2 +b_1=F(1,2)=928,8+C$ 

Umformen: $b_1 =1382,4+C$

somit $t_1(x)=(-378)\cdot x+1382,4+C$

Analog:

$b_2=3704,4+C$ (Edit Korrektur)

Probiert man, das gleiche für $b_3$ oder $b_4$ merkt man, dass es zu einem störenden Bruch kommt.

Setzen wir unsere bisherigen Erkenntnisse in Gleichung $(I)$ ein und formen nach $C$ um:

$1382,4+C+1724,4+C+b_3=b_4\Leftrightarrow C=\frac12 \cdot (b_4-b_3-3106,8)$ 

Jetzt musst du nur $b_4-b_3$ bestimmen :)

Comments

Hallo lieber Schatten_von_Jacob,

vielen, vielen Dank für Deine sehr ausführliche Erklärung.

Bitte entschuldige vielmals, dass ich mich noch einmal melden muss.

Du schreibst, dass es bei b3 und b4 zu einem störenden Bruch kommt. Deshalb vermute ich, dass Du die entsprechenden Werte berechnet hast. Leider hast Du sie nicht dazugeschrieben. Denn: b1 kann ich nachvollziehen und ich weiss. dass b2 analog genauso berechnet werden müsste, aber ich komme partout nicht auf Dein Ergebnis.

(Deshalb hatte ich mich gestern nicht mehr gemeldet und hoffe sehr, dass es heute nicht zu spät dafür ist. - ich meine, weil laufend neue Aufgaben ankommen und meine deshalb wahrscheinlich irgendwo "hinten" verschwindet.)

Kannst Du mir bitte freundlicherweise noch einmal helfen ?

Vielen Dank im voraus dafür.

mit freundlichen Grüßen von der Weser Martin

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Hi, finde es gut, dass du dran bleibst :) manche fragen und geben dann gar kein Feedback, ob die Antwort hilfreich war.

"Du schreibst, dass es bei b3 und b4 zu einem störenden Bruch kommt. Deshalb vermute ich, dass Du die entsprechenden Werte berechnet hast. Leider hast Du sie nicht dazugeschrieben."

Ja, weil du die selbst berechnen kannst, aber es ist mit meiner Lösung auch nicht notwendig diese Werte zu berechnen. Hätte ich aber hier vielleicht tun sollen, aber es ist sehr aufwendig das alles zu schreiben und man macht schnell einenFehler beim abtippen.

Schließlich wird nach $C$ gefragt, dafür musst du nur die Differen b4 und b3 berechnen.

Bei $b_2=3704,4+C$ wäre korrekt. Entschuldigung, habe ich falsch aufgeschrieben.

Für $t(a)=f(a)\cdot a + b=F(a)\Leftrightarrow b=F(a)-f(a)\cdot a$

Also erhältst du ie Gleichungen:

$b_3=F(2,3)-f(2,3)\cdot 2,3$

$b_4=F(5,6)-f(5,6)\cdot 5,6$

$b_4-b_3=F(5,6)-F(2,3) - (f(5,6)\cdot 5,6-f(2,3)\cdot 2,3)$

$F(5,6)-F(2,3)=-11629,2$

und $f(5,6)\cdot 5,6-f(2,3)\cdot 2,3 = -19034,4$

EInsetzten liefert: $b_4-b_3= -11629,2+19034,4 = 7405,2$

Einsetzen in

$b_1+b_2+b_3=b_4\quad (I)$

liefert

$1382,4+C+3704,4+C+b_3=b_4\Leftrightarrow C=\frac12 \cdot (b_4-b_3-5086,8)=\frac12 \cdot (7405,2-5086,8)=1159,2$