Berechnung der Fläche mit Doppelintegral

Question

Aufgabe:

Es sei B das Flächenstück, das durch die Kurven y=3/x,y=5/x,y=2x,y=6x begrenzt wird.
Berechnen Sie ∫_B1dB.

Problem/Ansatz:

Was sind die Grenzen vom Doppelintegral ?

Comments

Hast du die 4 Graphen aufgezeichnet? dann teil sie in Streifen in x oder y Richtung ein

lul

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Ich würde mich nicht wundern, wenn die Musterlösung alternativ den Transformationssatz verwendet.

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wenn die Musterlösung alternativ den Transformationssatz verwendet.

Interessanter Aspekt! Ich habe da zwar keine Ahnung von, daher die Frage: ist es dann angemessen, die Transformation$$x = \sqrt{\frac{v}{u}} \\ y = \sqrt{uv}$$zu wählen? So läuft \(u\) von 2 bis 6 und \(v\) von 3 bis 5.

Und wenn das passt, wie sähe dann die Funktionaldeterminante aus?

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Ja, so soll es wohl gelöst werden. Es ist also

$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=T(u,v):=\begin{pmatrix} \sqrt{v/u}\\ \sqrt{uv}\end{pmatrix}$$

Alle beteiligten Variablen sind hier positiv, so dass also Invertierbarkeit gegeben ist. Die Funktionaldeterminante ist demtentsprechend

$$\left| \det T'(u,v)\right|=\left|  \det \begin{pmatrix} \partial_u \sqrt{v/u}& \partial_v \sqrt{v/u} \\ \partial_u \sqrt{uv}& \partial_v \sqrt{uv} \end{pmatrix} \right|=\frac{1}{2u}$$

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Danke für die Antwort, soweit kann ich das nachvollziehen.

Aber wie kann es sein, dass dieser Ausdruck nicht mehr von \(v\) abhängig ist? Stellt man das Integral auf:$$\phantom{=}\int\limits_{B} 1\,\text{d}B = \int 1\cdot \left|\det T'(u,v)\right|\,\text{d}u\text{d}v\\ = \int\limits_{v=3}^{5}\,\,\int\limits_{u=2}^{6}\frac{1}{2u}\,\text{d}u\text{d}v$$so haben die Grenzen von \(v\) keinen Einfluß mehr auf das Ergebnis. Das kann doch nicht sein - oder?

Wo ist hier mein Denkfehler?

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so haben die Grenzen von \(v\) keinen Einfluß mehr auf das Ergebnis

Ah! - haben sie doch durch die Integration - also müsste es so weiter gehen:$$\phantom{=}\int\limits_{v=3}^{5}\,\,\int\limits_{u=2}^{6}\frac{1}{2u}\,\text{d}u\text{d}v\\ = \int\limits_{v=3}^{5}\left[\cancel{- \frac{1}{2u^2}}\right]_{2}^{6}\,\text{d}v = \int\limits_{v=3}^{5}\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{36}- \frac{1}{4}\right)\right]\,\text{d}v \\ = \int\limits_{v=3}^{5}\frac{1}{9}\,\text{d}v = \left[\frac{v}{9}\right]_{3}^{5} = \frac{2}{9}$$bloß blöd, dass das Ergebnis falsch ist ;-/

https://www.desmos.com/calculator/tziw46gupl

Wo ist jetzt der Denk/Rechenfehler?

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Stammfunktion von 1/u ist ln(u)

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Stammfunktion von 1/u ist ln(u)

Oh jee -- ich bin heute noch nicht ganz wach ;-)

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... macht also:$$\phantom{=}\int\limits_{v=3}^{5}\,\,\int\limits_{u=2}^{6}\frac{1}{2u}\,\text{d}u\text{d}v\\ = \int\limits_{v=3}^{5}\left[\frac{1}{2}\ln(u)\right]_{2}^{6}\,\text{d}v = \int\limits_{v=3}^{5}\frac{1}{2}\ln(3)\,\text{d}v \\ = \frac{1}{2}\ln(3)\int\limits_{v=3}^{5}1\,\text{d}v = \ln(3) \approx 1,099\\$$

Danke Mathhilf ! ich bin begeistert. Wieder was gelernt.