Aloha :)
Für \(x\ne0\) können wir die Ableitung mit Produkt- und Kettenregel bilden:$$f'(x)=\left(\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\sin\left(\pink{\frac1x}\right)}_{=v}\right)'=\underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin\left(\pink{\frac1x}\right)}_{=v}+\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{\cos\left(\pink{\frac1x}\right)}^{=\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{\left(\pink{-\frac{1}{x^2}}\right)}^{=\text{innere Abl.}}}_{=v'}$$$$f'(x)=2x\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)$$und erhalten eine Funktion, die für alle \(x\ne0\), also für alle \(x\) aus dem Definitionsbereich von \(f(x)\) definiert ist. Damit ist die Funktion \(f(x)\) für alle \(x\ne0\) differenzierbar (wir haben es ja gerade getan).
Die Ableitung \(f'(x)\) ist aber nicht stetig, da sie für \(x\ne0\) nicht definiert ist.
