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a) Betrachten Sie die Abbildung
$$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto(x+2)^{2} $$
und berechnen Sie \( f^{-1}(\{9\}), f^{-1}(\{-9,9\}), f^{-1}([-9,9]) \)
b) Seien \( M_{1} \) und \( M_{2} \) nichtleere Mengen und \( f: M_{1} \rightarrow M_{2} \) eine Abbildung. Beweisen Sie:
i) \( f \) ist genau dann injektiv, wenn für alle \( y \in M_{2} \) gilt: \( \left|f^{-1}(\{y\})\right| \leq 1 \)
ii) \( f \) ist genau dann surjektiv, wenn für alle \( y \in M_{2} \) gilt: \( \left|f^{-1}(\{y\})\right| \geq 1 \)

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Ich brauche bitte nur die Lösung von ii)

Die Schreibweise f-1 steht für die Urbildmenge. | ... | steht für die Anzahl der Elemente einer Menge, wenn ... eine Menge ist. (i) bedeutet, zu jedem y gibt es höchstens ein Urbild. Bei (ii) ist es "mindestens ein". Und das ist mehr oder weniger die Definition von surjektiv.

Das Problem ist der Beweis mit ii, können sie die beweisen?

1 Antwort

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f  ist genau dann surjektiv, wenn für alle

\( y \in M_{2} \) gilt:

$$ \left|f^{-1}(\{y\})\right| \geq 1 $$

Das heißt doch nur:

Für jedes y aus M2 gibt es mindestens ein Urbild

und das ist doch genau Surjektivität.

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