Abbildung f : R → R, x ↦(x + 2)2: Urbildmengen von Intervallen? Injektiv, surjektiv?

Question

a) Betrachten Sie die Abbildung
$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto(x+2)^{2}$$
und berechnen Sie $f^{-1}(\{9\}), f^{-1}(\{-9,9\}), f^{-1}([-9,9])$
b) Seien $M_{1}$ und $M_{2}$ nichtleere Mengen und $f: M_{1} \rightarrow M_{2}$ eine Abbildung. Beweisen Sie:
i) $f$ ist genau dann injektiv, wenn für alle $y \in M_{2}$ gilt: $\left|f^{-1}(\{y\})\right| \leq 1$
ii) $f$ ist genau dann surjektiv, wenn für alle $y \in M_{2}$ gilt: $\left|f^{-1}(\{y\})\right| \geq 1$

Comments

Ich brauche bitte nur die Lösung von ii)

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Die Schreibweise f^-1 steht für die Urbildmenge. | ... | steht für die Anzahl der Elemente einer Menge, wenn ... eine Menge ist. (i) bedeutet, zu jedem y gibt es höchstens ein Urbild. Bei (ii) ist es "mindestens ein". Und das ist mehr oder weniger die Definition von surjektiv.

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Das Problem ist der Beweis mit ii, können sie die beweisen?

Answer 1

f  ist genau dann surjektiv, wenn für alle

$y \in M_{2}$ gilt:

$$\left|f^{-1}(\{y\})\right| \geq 1$$

Das heißt doch nur:

Für jedes y aus M2 gibt es mindestens ein Urbild

und das ist doch genau Surjektivität.