Entwickeln einer Funktion

Question

Text erkannt:

Aufgabe:
Entwickeln Sie die Funktion

\( f(x)=\frac{9}{9 \cdot x+8} \)
in eine Potenzreihe mit Entwicklungsstelle \( x_{0}=0 \). Ermitteln Sie dazu eine Formel für \( a_{k} \) in der Darstellung
\( f(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} . \)
und bestimmen Sie den Konvergenzradius \( r \) :
Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert:
\( \begin{array}{l} a_{k} \\ =(-1)^{\wedge} k^{*}\left(\left(k !^{*} 9\right) /\left(9^{*} \mathrm{x}+8\right.\right. \end{array} \)
\( (-1)^{k} \cdot\left(\frac{k ! \cdot 9}{(9 \cdot x+8)^{k+1}}\right) \)

In Ihrer Antwort wurden die folgenden Variablen gefunden: \( [k, x] \)
\( r= \)

Hinweis: Verwenden Sie für \( |\boldsymbol{q}|<\mathbf{1} \) die geometrische Reihe:
\( \frac{1}{1-q}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} q^{k}=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand zeigen wie ich auf den Konvergenzradius r komme?, und ist meine Formel überhaupt korrekt?.…

Answer 1

Aloha :)

Wenn du dem Tipp folgst, ist es Kochen nach Rezept. Der Tipp lautet:$$\sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1$$

Daher würde ich vesuchen, die Funktionsgleichung auf die Form \(\frac{1}{1-q}\) zu bringen, um dann sofort die gesuchte Potenzreihe und den Konvergenzradius angeben zu können:

$$f(x)=\frac{9}{9x+8}=\frac{\pink{\frac18}\cdot9}{\pink{\frac18}\cdot(8+9x)}=\frac{\frac98}{1+\frac98x}=\frac98\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac98x\right)}$$

Wir erkennen, dass zum Einen \((q\coloneqq-\frac98x)\) gelten muss und zum Anderen die Forderung$$|q|<1\implies\left|-\frac98x\right|<1\implies|x|<\frac89$$efüllt sein muss, damit die folgende Potenzreihe konvergiert:$$f(x)=\frac98\sum\limits_{k=0}^\infty\left(-\frac98x\right)^k=\sum\limits_{k=0}^\infty\underbrace{(-1)^k\left(\frac98\right)^{k+1}}_{\eqqcolon a_k}\cdot x^k\quad\text{für }|x|<\underbrace{\frac89}_{\eqqcolon r}$$

Comments

Und so kommen Menschen durchs Studium, die sich Aufgaben von anderen lösen lassen, obwohl sie ganz offensichtlich keine Studierfähigkeit besitzen. Man finde den Fehler dieses Systems.

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Bei mir war es so, dass die Klausuren über das Durchkommen im Studium entschieden haben. Und bei der Klausur ist jeder Student auf sich alleine gestellt.

Answer 2

Nein, Dein \(a_k\) stimmt nicht, es geht viel einfacher. Da steht ja auch der entscheidende Tipp: geometrische Reihe. Du musst nur noch das \(q\) finden, also irgendwie von \(9x+8\) auf \(1-q\) umschreiben. Tipp dazu: 9 ausklammern. Wenn das \(q\) und damit die Reihe gefunden ist, ist der Konvergenzradius leicht zu bestimmen - der hängt ja von \(q\) ab.

Answer 3

Deine Formel ist falsch, denn für \(k=0\) entspricht das ja genau der Funktion selbst. Außerdem darf in \(a_k\) natürlich kein \(x\) vorkommen. Stichwort: Taylorformel oder der Hinweis. Verwende für den Konvergenzradius die Definition. Sie sollte in deinen Unterlagen stehen.

Zum Hinweis beachte: \(\frac{9}{9x+8}=\frac{9}{8}\cdot \frac{8}{8+9x}=\frac{9}{8}\cdot \frac{1}{1-q}\) für ein geeignetes \(q\).