Hallo,
Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte.
Danke im voraus!
Aufgabe:
Ein Körper über einer endlichen Menge von Elementen heißt endlicher Körper. Durch die starken Einschränkungen der Körperaxiome sind alle Körper mit der selben Anzahl an Elementen isomorph zueinander (d.h., gleich bis auf Umbenennung der Elemente). Stellvertreten für alle endlichen Körper mit q Elementen schreiben wir Fq. Zudem muss die Anzahl q der Elemente eine Primzahlpotenz sein, also von der Form q = pk wobei p eine Primzahl ist und k ∈ N>0
1.
Betrachten Sie den endlichen Körper mit vier verschiedenen Elementen F4. Da ein Körper
insbesondere Ring mit Einselement ist, existieren außer dem Null- und dem Einselement
nur zwei weitere Elemente a, b. Sei also K =df ⟨{0, 1, a, b}, ⊕, ⊙⟩ ein solcher Körper mit 4
Elementen. Geben Sie die Verknüpfungstafeln der additiven und multiplikativen Gruppe an.
Hinweis: Beginnen Sie mit der multiplikativen Gruppe.
2.
Geben Sie einen endlichen Körper mit 7 Elementen an.
Hinweis: Sie dürfen Körper aus der Vorlesung und Übung verwenden. Wenn dort die Addition
und Multiplikation bereits definiert sind, müssen Sie diese hier nicht angeben.
Problem/Ansatz:
1)
Additive Gruppe (⊕):
⊕
| 0 | 1 | a | b |
| 0 | 0 | 1 | a | b |
| 1 | 1 | 0 | b | a |
| a | a | b | 0 | 1 |
| b | b | a | 1 | 0 |
Multiplikative Gruppe (⊙):
⊙
| 1 | a | b |
| 1 | 1 | a | b |
| a | a | b | 1 |
| b | b | 1 | a |
Null habe ich hier nicht notiert, da alles multipliziert mit 0 = o ist
(weiß nicht ob die Notation von null notwendig ist )
2)
Ein endlicher Körper mit 7 Elementen ist der Körper der Restklassen Modulo 7, F7. Die Elemente dieses Körpers sind die Restklassen {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Die Addition und Multiplikation in diesem Körper sind definiert als die übliche Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen Modulo 7.
