Erst einmal eine grundsätzliche Bemerkung zu deiner Herangehensweise:
Selbst, wenn du die Euler-Lagrange-Gleichungen aufgestellt und gelöst hast, weißt du nur, dass die Lösungskurve ein lokales Extremum des Funktionals darstellt. D.h., es muss immer noch ein Argument geliefert werden, wieso die Lösungskurve tatsächlich das globale Minimum liefert.
Ich benutze im Weiteren folgende Schreibweisen:
\(x_i\) mit \(i=1,2,3\) statt \(x,y,z\)
\(r=r(t) = (x_i(t))\)
\(|\dot r| = \sqrt{\dot x_1^2+\dot x_2^2+\dot x_3^2}\)
Du möchtest folgendes Funktional über glatte Wege
\(r= r(t) = (x_i(t))\)
von A nach B mit konstantem \(n\) minimieren:
\(T(r) =\frac 1c \int_r n ds =\stackrel{v=\frac cn}{=} \frac 1v\int_r ds = \frac 1v l(r)\),
wobei \(l(r)\) die Länge von \(r\) ist.
Da das Wegintegral \(\int_r ds\) für glatte Wege parametrisierungsunabhängig ist, können wir uns auf alle glatten Wege beschränken, mit
\(r:[0,1]\rightarrow \mathbb R^3\), wobei \(r(0)=A\) und \(r(1)=B\).
Damit erhalten wir
\(T(r) = \frac 1vl(r) = \frac 1v\int_0^1\, |\dot r(t)| \, dt \).
Jetzt bist du eigentlich ohne Euler-Lagrange schon fertig, denn (siehe z. Bsp. hier) es gilt
\(l(r) = \sup\left\{\sum_{k=1}^n|r(t_k)-r(t_{k-1})|\:|\: n\in\mathbb N,\; 0=t_0 < t_1 < \ldots < t_{n-1}< t_n = 1\right\}\)
Per Dreiecksungleichung gilt damit für alle Zerlegungssummen
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n|r(t_k)-r(t_{k-1})| \geq \left|\sum_{k=1}^n (r(t_k)-r(t_{k-1})) \right| = |r(1)-r(0)|= |AB|\)
Da aber die Strecke von A nach B genau die Länge \(|AB|\) liefert, minimiert sie das Funktional. (Für die Eindeutigkeit müsste man übrigens auch noch ein Argument liefern.)
Aufstellen der Euler-Lagrange-Gleichungen:
Da \(v\) konstant ist, betrachten wir nur noch
\(l(r) = \int_0^1\, |\dot r(t)| \, dt \)
Die Lagrange-Funktion ist somit
\(L(t,r,\dot r) = |\dot r|\)
Es gibt also keine expliziten Abhängigkeiten von \(t\) und \(r= (x_i)\).
Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind somit
\(\partial_{x_i}L -\frac d{dt}(\partial_{\dot x_i}L)= 0-\frac d{dt}\left(\frac{\dot x_i}{|\dot r|}\right) = 0\)
Damit bekommst du das System dreier gekoppelter DGL:
\(\frac{\dot x_i}{|\dot r|}= c_i\) mit Konstanten \(c_i\).
Das darfst du jetzt gern versuchen zu lösen bzw. du kannst verifizieren, dass die Strecke von A nach B diese Gleichungen erfüllt.
Aber dennoch müsstest du noch ein Argument für die Minimalität des Funktionals liefern.
