Zeigen Sie, dass der Grenzwert der Folge 1 ist.

Question

Hey!

ich versuche gerade eine Aufgabe zu lösen. Sie lautet:

Zeigen Sie, dass gilt:

$$\lim\limits_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=1$$ für alle $$n\in\mathbb{N}$$ ohne Null.

Ich würde die Aufgabe gern mit eurer Hilfe bearbeiten, bitte gebt die Lösung nicht einfach vor. Es ist nämlich so, dass es mir absolut schwer fällt, sobald ein Epsilon Beweis drankommt.

Also hier schonmal das, was ich mir dazu gedacht habe:

Per Definition aus der Vorlesung weiß ich, dass gilt:

$$∀ε>0  ∃n_{0}\in\mathbb{N}  mit  |x_{n}-a|<ε  ∀n\in\mathbb{N}  mit   n\geq n_{0}$$

Jetzt würde ich sagen, dass unser $$x_{n}=n^{\frac{1}{n}}$$ ist und a=1 ist. Das würde ich in den Betrag setzen.

Nun kann ich doch eine Abschätzung nach oben und unten machen, oder?

Aber wie soll ich das nun machen? Hat jemand einen Tipp? Ich würde zu gerne verstehen was ich machen muss. Ich weiß es leider nie.

Beste Grüße✌️

Comments

Ich habe eben nach oben und unten abgeschätzt und gezeigt, dass es im Endeffekt konvergiert, da gilt:

$$|x_{n}-1|<ε <=> -ε<x_{n}-1<ε <=> 1-ε<x_{n}<1+ε <=> (1-ε)^n<n<(1+ε)^n$$

(Beachte, wie wir $$x_{n}$$ definiert haben). Nach unten und oben kann man leicht abschätzen, indem man zeigt, dass beides konvergiert. Nach dem Sandwichlemma konvergiert also auch unser Term.

Naja ich glaube das war gar nicht die Aufgabe. Wie soll ich zeigen, dass meine Folge gegen 1 konvergiert? Ich habe was von l'hôpital gelesen, jedoch haben wir das in Analysis noch nicht eingeführt (Kenne diese Regel aber schon). Daher könne wir das nicht verwenden. Hat sonst noch jemand eine Idee? Intuitiv ist mir klar, dass es gegen 1 konvergiert.

Beste Grüße:)

Answer 1

Wenn du das Sandwich-Lemma benutzen willst, dann kannst du folgendermaßen argumentieren :

Man zeigt, dass \(a_n = x_n - 1 =  \sqrt[n]{n} -1\) eine Nullfolge beschreibt, indem man den binomischen Satz anwendet : \(n = \sqrt[n]{n}^n= (a_n+1)^n =\sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a_n^k·1^{n-k}}\) und in dieser Summe außer dem k=2 - Term alles weglässt :
n > n*(n-1)/2*a_n^2  ⇒  2/(n-1) > a_n^2 > 0 und mit a_n^2 konvergiert auch a_n gegen 0.

Comments

Mein Lieblings-Nachweis benutzt übrigens auch das Sandwich-Lemma angewandt auf die Ungleichung vom AGM für 2 mal √n und n-2 mal 1 (kommt man aber nicht so leicht von selbst drauf).

---

Hallo! Ich habe einfach wild angefangen die Hausaufgaben zu bearbeiten. Ich sehe gerade, dass wir genau deinen Tipp in der allerersten Präsenzaufgabe haben und zeigen sollen, dass die n-te Wurzel von n gegen 1 konvergiert. Das darf ich jetzt einfach benutzen. Vielen Dank. Ich schaue mir deins noch mal im Detail an und melde mich gegebenenfalls. Ich wünsche allen einen guten Rutsch:)