Normalverteilung: Wieso ist diese Antwort bei der Aufgabe richtig?

Question

Aufgabe:

Ein bestimmtes Kaffeegetränk wird von den zwei Produktionsmaschinen \( A \) und \( B \) erzeugt.

Der Koffeingehalt dieses Kaffeegetränks kann bei beiden Produktionsmaschinen als normalverteilt angenommen werden. Die Graphen der Verteilungsfunktionen der beiden Produktionsmaschinen \( A \) und \( B \) sind in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

Die Produktionsmaschine A produziert mit Erwartungswert \( \mu_{A} \) und Standardabweichung \( \sigma_{A} \). Die Produktionsmaschine \( B \) produziert mit Erwartungswert \( \mu_{B} \) und Standardabweichung \( \sigma_{B} \).

1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen so, dass eine richtige Aussage entsteht.

Für die beiden Produktionsmaschinen gilt: (1) und (2)

Problem/Ansatz:

Hallo! Kann mir wer bitte bei dieser Aufgabe kurz helfen? Kann mir bitte wer erklären, wieso hier μA= μB und σA< σB die richtige Lösung ist und wie man darauf kommt? Danke im Voraus!

Comments

Die Verteilungsfunktion ist das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte.

Answer 1

Stelle Dir die Ableitung der beiden Verteilungsfunktionen vor. Beide haben ihr Maximum \( \mu \) an derselben Stelle. Nämlich dort, wo die Verteilungsfunktion den Wert 0,5 annimmt. Und bei einer Ableitung ist die Glocke schmaler als bei der anderen.

Comments

Danke für die Antwort! Aber ich verstehe irgendwie das mit der standardabweichung nicht bei dem Graphen? Die Standardabweichung ist 10 oder?

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Die Standardabweichung ist 10 oder?

Es ist unerheblich, ob die Standardabweichung 10 ist bei A oder B.

Es geht darum zu erkennen, dass sie bei A kleiner ist als bei B.

Das kann man merken indem man das tut, was im ersten Satz meiner Antwort steht.

Answer 2

Ich ergänze mal noch eine mehr "probabilistische" Antwort.

Um Schreibarbeit zu sparen, nenne ich die Zufallsgrößen für den Koffeingehalt \(X_A, X_B\). \(X_A, X_B\) sind laut Voraussetzung normalverteilt. Die zugehörigen Verteilungsfunktionen nenne ich \(\Phi_A, \Phi_B\).

Wichtig für das Verständnis ist nun, was die Verteilungsfunktion bedeutet:

\(\Phi_A(x) =P(X_A\leq x)\) bzw. \(\Phi_B(x) =P(X_B\leq x)\)

Zum Erwartungswert:

Die Normalverteilung ist symmetrisch um den Erwartungswert \(\mu\) und es gilt

\(P(X_A\leq \mu_A) = P(X_B\leq \mu_B) = 0.5\)

Die horizontale Linie \(p=0.5\) ist eingezeichnet und siehe da: beide Verteilungsfunktionen schneiden diese Linie im selben Punkt. Also gilt

\(\mu_A = \mu_B\)

Zur Streuung:

Je kleiner die Streuung ist, desto wahrscheinlicher liegt der Koffeingehalt in der Nähe des Mittelwertes, desto schmaler ist das Intervall \([\mu-\sigma, \mu+\sigma]\) um den Mittelwert.

Damit ist mit Blick auf dem Graphen

\(\sigma_A < \sigma_B\)