Berechne für die komplexen Zahlen z_{1}, z_{2} und z_{3} in kartesischer Form

Question

Aufgabe:

Berechne für die komplexen Zahlen \( z_{1}, z_{2} \) und \( z_{3} \) mit
\( z_{1}=-1+1 \mathrm{i}, \quad z_{2}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}, \quad z_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i} \)
den folgenden Ausdruck:
\( \frac{z_{1}^{6} z_{2}^{6}}{z_{3}^{8}}= \)

Hinweis:
- Geben Sie Ihr Ergebnis in kartesischer Form an.

Problem/Ansatz:

Hi Leute, ich habe das mit der De-Moivre Formel gerechnet und habe -17496Wurzel3+17496i / 6561. Ist das richtig? Das ist mir wehr wichtig will das gerne verstehen daher gerne mit Erklärung wenn ihr mir die richtige Lösung nennen könnt. Dankeee:** Ist das dann die kartesische Form von mir , muss es nämlich als kartesische Form darstellen dann.

Answer 1

Aloha :)

Ich empfehle, die Potenzen mit den binomischen Formeln auszurechnen.

Überall, wo das Symbol \((\ast)\) auftaucht, habe ich \((i^2=-1)\) verwendet.

$$\small z_1^2=(-1+i)^2=(\underbrace{i}_a-\underbrace{1}_b)^2=\underbrace{i^2}_{a^2}-\underbrace{2i}_{2ab}+\underbrace{1}_{b^2}\stackrel{\ast}{=}-2i$$

$$\small z_2^3=\left(\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i\right)^3=\frac{(\overbrace{3}^{a}+\overbrace{\sqrt3i}^{b})^3}{2^3}=\frac{\overbrace{3^3}^{a^3}+\overbrace{3\cdot3^2\cdot\sqrt3i}^{3a^2b}+\overbrace{3\cdot3\cdot(\sqrt3i)^2}^{3ab^2}+\overbrace{(\sqrt3i)^3}^{b^3}}{8}$$$$\small\phantom{z_2^3}=\frac{27+27\sqrt3\,i+27i^2+3\sqrt3i^3}{8}\stackrel{\ast}{=}\frac{27+27\sqrt3\,i-27-3\sqrt3\,i}{8}=\frac{24\sqrt3\,i}{8}=3\sqrt3\,i$$

$$\small z_3^3=\left(\frac32\,i+\frac{\sqrt3}{2}\right)^3=\frac{(\overbrace{3i}^{a}+\overbrace{\sqrt3}^{b})^3}{2^3}=\frac{\overbrace{(3i)^3}^{a^3}+\overbrace{3\cdot(3i)^2\cdot\sqrt3}^{3a^2b}+\overbrace{3\cdot3i\cdot(\sqrt3)^2}^{3ab^2}+\overbrace{(\sqrt3)^3}^{b^3}}{8}$$$$\small\phantom{z_2^3}=\frac{27i^3+27\sqrt3i^2+27i+3\sqrt3}{8}\stackrel{\ast}{=}\frac{-27i-27\sqrt3+27i+3\sqrt3}{8}=\frac{-24\sqrt3}{8}=-3\sqrt3$$

Damit können wir den gesuchten Bruch wie folgt bestimmen:$$z=\frac{z_1^6\cdot z_2^6}{z_3^8}=\frac{z_1^6\cdot z_2^6}{z_3^9}\,z_3=\frac{(z_1^2)^3\cdot(z_2^3)^2}{(z_2^3)^3}\,z_3=\frac{(-2i)^3\cdot(3\sqrt3i)^2}{(-3\sqrt3)^3}\,z_3$$$$\phantom z=\frac{-8i^3\cdot9\cdot3\,i^2}{-3^3(\sqrt3)^2\sqrt3}\,z_3=\frac{8i^5}{3\sqrt3}\,z_3\stackrel{\ast}{=}\frac{8i}{3\sqrt3}\,z_3=\frac{8i}{3\sqrt3}\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac32\,i\right)$$$$\phantom z=\frac{8}{6}\,i+\frac{8}{2\sqrt3}\,i^2\stackrel{\ast}{=}-\frac{4}{\sqrt3}+\frac43\,i$$

Answer 2

Das Ergebnis stimmt nicht. Wie bist du denn darauf gekommen?

Schreibe alle komplexen Zahlen in der eulerschen Form auf. Dann ist die Berechnung nicht so schwierig, da man Potenzgesetze ausnutzen kann. Am Ende kann man dann auch wieder die kartesische Form angeben.

Wenn man das macht, erhält man das Ergebnis \(\frac{8}{\sqrt{3}^2}\mathrm{e}^{\frac{5}{6}\pi\mathrm{i}}=\frac{8}{\sqrt{3}^2}(\cos(\frac{5}{6}\pi)+\mathrm{i}\sin(\frac{5}{6}\pi)=\ldots\)

Answer 3

Ich habe mal begonnen mit   \( z_1=\sqrt{2}e^{\frac{3 \pi}{4}i} \)und   \( z_2=\sqrt{3}e^{\frac{\pi}{6}i} \) und   \( z_3=\sqrt{3}e^{\frac{\pi}{3}i} \)

Dann kann man ja rechnen \( \frac{z_{1}^{6} z_{2}^{6}}{z_{3}^{8}} = (\frac{z_{1} z_{2}}{z_{3}})^6 \cdot  \frac{1}{z_{3}^{2}} \)

Also erst mal  \(  \frac{z_{1} z_{2}}{z_{3}}  =  \frac {\sqrt{2}e^{\frac{3 \pi}{4}i}  \sqrt{3}e^{\frac{\pi}{6}i}} {\sqrt{3}e^{\frac{\pi}{3}i}}  =  \frac {\sqrt{2}e^{\frac{11 \pi}{12}i}  } {e^{\frac{\pi}{3}i}}   =  \sqrt{2}e^{\frac{7 \pi}{12}i}    \)

Das jetzt hoch 6 gibt \(    \sqrt{2}^6 e^{\frac{42 \pi}{12}i}  =   8 e^{\frac{18 \pi}{12}i} =  8 e^{\frac{3\pi}{2}i} \)

Nun also noch \(  8 e^{\frac{3\pi}{2}i}  \cdot \frac{1}{z_{3}^{2}} =  8 e^{\frac{3\pi}{2}i}  \cdot \frac{1}{(\sqrt{3}e^{\frac{\pi}{3}i} )^{2}} =    \frac{  8 e^{\frac{3\pi}{2}i} }{3e^{\frac{2\pi}{3}i} } =    \frac{  8}{3} e^{\frac{5\pi}{6}i}  \)

\(   =  \frac{  8}{3} ( \cos(\frac{5\pi}{6}) +i\cdot\sin(\frac{5\pi}{6}) ) =  \frac{  8}{3} ( - \frac{\sqrt{3}}{2} +  \frac{i}{2}) = - \frac{4}{3}\sqrt{3} +  \frac{4}{3} i \)