Bestimmen Sie S(x) und T(x).

Question

Hallo community, ich bin leider ratlos, danke im voraus :)

Problem/Ansatz:

Seif f(x)=S(x), falls x≤0 und T(x), falls x>0 eine einmal stetig differenzierbare Funktion, die in Funktionswerten und Ableitungen an den Stellen x=−1 und x=2 mit den jeweiligen Funktionswerten und Ableitungen der Funktion g(x)=x³ übereinstimmen. Dabei seienS(x) und T(x) Polynome vom Grad höchstens 2. Bestimmen Sie S(x) und T(x).

Comments

Was ist mit Funktion g(x)=x3 gemeint: g(x)=x·3 oder g(x)=x³ oder etwas anderes?

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Da steht doch \(x^3\).

Answer 1

Es gilt \(g(-1)=f(-1)=S(-1)\) bzw. \(g'(-1)=f'(-1)=S'(-1)\) und analog \(g(2)=f(2)=T(2)\) bzw. \(g'(2)=f'(2)=T'(2)\). Wegen der stetigen Differenzierbarkeit gilt zusätzlich \(S(0)=T(0)\) und \(S'(0)=T'(0)\).

Mache nun den Ansatz \(S(x)=ax^2+bx+c\) und analog für \(T\) (wähle hier unbedingt andere Parameter) und löse das auftretende Gleichungssystem.

Zur Kontrolle: Es kommen unschöne Brüche raus. ;)

~plot~ (-11/3x^2-13/3x+1/3)*(x<=0)+(49/12x^2-13/3x+1/3)*(x>0) ~plot~

Comments

Wie genau komme ich jetzt auf die Funktionsgleichung? Irgendwie mit einem LGS schätz ich, aber wie im Detail ? Bin leider mathematisch unbegabt. MfG

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Die Ansätze hast du? Wenn du zum Beispiel \( S(-1)=-1 \) hast, setzt du \(x=-1 \) in deinen Ansatz ein. Das liefert dir dann eine erste Gleichung.

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Könntest du mir konkret zeigen wie du auf die Gleichung kommst ?

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\( S(x) =ax^2+bx+c \)

\( S(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c=-1 \)

Wo ist das Problem? Das ist nur einsetzen.

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Ja, das einsetzen habe ich verstanden, aber wie kommst du dann auf die fertige Gleichung am Ende, die du ja auch geplottet hast. Danke für deine Hilfe.

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Das LGS lösen, zum Beispiel mit Gauß.

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Ich hätte dann 4 Gleichungen zur Verfügung, bräuchte aber nur 3 davon um das Gleichungssystem zu lösen, ist das die richtige Richtung? Tut mir leid dass du dich auf dieses Niveau "herablassen" musst, aber ich verstehe es einfach nicht ganz.

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Alles gut. :) Du solltest tatsächlich 6 Gleichungen und 6 Unbekannte haben, was sich dann aber zu einem System von 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten vereinfachen lässt. Wie sieht dein LGS aus?

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Vernachlässigbar wäre quasi der punkt der Stetigkeit, richtig ? Das ist dann quasi nur eine Randbedingung.

Ich hätte jetzt folgendes Gleichungssystem:

(bisschen umsortiert)

3 = -2a + b

12 = 4a + 2b

-1 = a -b +c

8 = 4a +2b +c

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Nein, das darfst du nicht vernachlässigen. Warum solltest du? Und nutze bitte für beide Funktionen unterschiedliche Variablen.

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Ich kapiers leider echt nicht, könntest du evtl. komplett zeigen, wie man ans ergebnis kommt, vielleicht verstehe ichs dann.

MfG

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Die Bedingungen kennst du alle. Betrachte \(S(x)=ax^2+bx+c\) und \(T(x)=dx^2+ex+f\). Wie lautet dann das Gleichungssystem aus den 6 Bedingungen?

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Ich komme nur auf 2 Gleichungen pro Funktion. Also zb S(x) und S'(x), und dann den ganzen Senf da eingesetzt. Und woher die 3. ? und bei T(x) dann Analog das gleiche. und dann habe ich ein Gleichungssystem aus 6 Gleichungen ? oder 2 verschiedene mit jeweils 3 Gleichungen ?

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Die Stetigkeitsbedingungen liefert auch zwei Gleichungen. Und nein, es ist ein System von 6 Gleichungen, weil ja zum Beispiel \(S(0)=T(0)\). Gehe das ganz in Ruhe durch und schreibe die Gleichungen sorgfältig auf.

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Kannst du mir bitte den kompletten weg zeigen? Ich weiss nicht wie ich eine Gleichung daraus machen soll. S(0)=T(0) ist dann c=f und S'(0)=T'(0) b=e oder wie? Es würde wirklich sehr helfen, wenn du mir einfach mal das Gleichungssystem aufzeigen könntest, ich komme sonst warscheinlich morgen noch nicht drauf.

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Ich gebe keine vollständigen Lösungen raus. Ich weiß aber auch nicht, warum du dich so anstellst. Du weißt doch offenbar, wie es funktioniert.

Und ja, eine Gleichung lautet c=f und eine Gleichung lautet b=e. Jetzt nur noch deine 4 Gleichungen von oben nochmal kontrollieren bzw. korrigieren. Die waren ja nicht ganz falsch.

Wenn du dann schon einen Schritt weiter gehen möchtest, kannst du in den 4 anderen Gleichungen jeweils das f durch c und das e durch b ersetzen. Dann solltest du 4 Gleichungen mit den Unbekannten a, b, c und d haben.

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Okay, das Gleichungssystem sieht jetzt bei mir so aus, ist das korrekt ?

a-b+c=-1

-2a+b=3

2b+c+4d=8

b+4d=12

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Passt so. Geht doch. Habe dadurch aber gerade gemerkt, dass bei mir ein Fehler drin war. Bessere ich aus. ;)

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Gott sei dank, ich habe es. Heureka ! Danke für die Hilfe.

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Und tat das nun so weh? Man muss sich halt wirklich mal konzentriert damit auseinandersetzen und nicht gleich aufgeben.

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Hi, ich hab etwas festgestellt. Ich habe den Lösungsweg leider gelöscht da mit tablet geschrieben (Lösung lgs). Mir ist jetzt beim erneuten lösen aufgefallen, dass ich auch eine andere plausible lösung bekomme, ich komme irgendwie nicht mehr auf die lösung von davor. Aber habe folgendes raus:

a=-3

b=-3

c=-1

d=15/4

also

S(x)=-3 x^(2)-3 x-1

Q(x)=((15)/(4)) x^(2)-3 x-1

Das macht für mich auf den ersten Eindruck graphisch auch Sinn, da zb bei x=-1 auch y=-1 wie in der aufgabenstellung verlangt? Übersehe ich hier irgendwas oder was habe ich für einen Fehler gemacht?

Also egal wie, ich komme beim LGS irgendwie plötzlich auf andere Ergebnisse. Danke im voraus Apfelmännchen!

Answer 2

g(x) = x^3

g'(x) = 3x^2

g(-1) = -1

g'(-1)= 3

g(2) = 8

g'(2) = 12

S(x)= ax^2+bx+c

S'(x) = 2ax+b

S(-1)= -1

S'(-1) = 3

T(x) = ax^2+bx+c

T(2)= 8

T'(2) = 12

T'(0) = S'(0) , stetig in x= 0

Comments

Wegen der Stetigkeitsbedingungen sollte man für die beiden Funktionen eher nicht dieselben Parameter verwenden.