Ableitung der 1 Funktion

Question

Aufgabe: Folgende Ableitung liegt vor leider komm ich nicht auf das Ergebnis der Musterlösung

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}} \)
\( \Rightarrow \) Quotientenregel: \( u=x^{2}+2 x+1 \rightarrow u^{\prime}=2 x+2 \)
\( v=x^{2} \quad \rightarrow v^{\prime}=2 x \)
\( \begin{aligned} f^{\prime \prime}(x) & =\frac{(2 x+2) \cdot\left(x^{2}\right)-\left(x^{2}+2 x+1\right) \cdot(2 x)}{\left(x^{2}\right)^{2}} \\ & =\frac{\left(2 x^{3}+2 x^{2}\right)-\left(2 x^{3}+4 x^{2}+2 x\right)}{x^{4}} \\ & =\frac{2 x^{3}+2 x^{2}-2 x^{3}-4 x^{2}-2 x}{x^{4}} \\ & =\frac{-2 x^{2}-2 x}{x^{4}} \end{aligned} \)

Was raus hommen
sollte
\( \frac{-2 x+2}{x^{3}} \)

Comments

Du machst immer die gleiche sinnlose Aktion. Statt im Zähler den gemeinsamen Faktor (hier: x, bei deiner letzten Aufgabe x²-1) auszuklammern und mit der entsprechenden Potenz im Nenner zu kürzen, multiplizierst du die Zähler voreilig aus. Danach ist die Möglichkeit des Kürzens nicht mehr erkennbar.

Answer 1

Kürze mit x.

Es muss im Zähler lauten: -2x-2  oder so:   (2x+2)/-x^3  oder -(2x+2)/ x^3

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 2

\( f(x)=\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}} \)

\( f'(x)=\frac{(2x+2 )\cdot x^2-(x^2+2x+1)\cdot 2x }{x^{4}} \)  Intern kürzen:

\( f'(x)=\frac{(2x+2 )\cdot x-(x^2+2x+1)\cdot 2 }{x^{3}} \)

\( f'(x)=\frac{(2x^2+2x )-(2x^2+4x+2) }{x^{3}} \)

\( f'(x)=\frac{2x^2+2x -2x^2-4x-2 }{x^{3}} \)

\( f'(x)=\frac{-2x -2 }{x^{3}}=-\frac{2x +2 }{x^{3}}\)

Nebenbei:

\( f(x)=\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}} =\frac{(x+1)^2}{x^{2}}\)

Answer 3

Als Ergänzung für die eigene Probe: Man kann hier auch ohne Quotientenregel arbeiten. Es gilt

\(f(x)=\frac{x^2}{x^2}+\frac{2x}{x^2}+\frac{1}{x^2}=1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\). Dann ist

\(f'(x)=0-\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}=\frac{-2x-2}{x^3}\).

Ich vermute aber, dass in der Lösung das Minus vor dem Bruch stand, also \(-\frac{2x+2}{x^3}\). Das wiederum wäre nämlich korrekt.