Hoch-/ Tief- u. Sattelpunkt von: (1) f(x)= 3x^2- 2x + 1, (2) f(x)= 3x^3, (3)f(x) = 1/4 x^4 - 2/3 x^3 - 3/2 x^2

Question

Hilfe, meine Mathelehrerin kann nicht erklären

wie bestimme ich die Extremstellen Hoch-/tief- und sattelpunkte bei folgenden Funktionen 

(1)  f(x)= 3x²- 2x + 1                                                      
(2)  f(x)= 3x³                                                        
(3) f(x) = 1/4 x⁴ - 2/3 x³ - 3/2 x²

ich bitte um möglichst genaue aber einfache erklärweise

ich danke im Voraus und hoffe dass ich es bald verstehen werde

Eva F.

Comments

Schau vielleicht schon mal, wie das bei ähnlichen Aufgaben gemacht wurde. Z.B. hier: https://www.mathelounge.de/92729/hoch-tief-bzw-sattelpunkt-des-graphen-von-bei-2x-11x-15-3x-und

Answer 1

f(x) = 3·x^2 - 2·x + 1

Man macht zwei Ableitungen

f'(x) = 6·x - 2

f''(x) = 6

Notwendige Bedingung für Extrempunkte und Sattelpunkte f'(x) = 0

6·x - 2 = 0
6·x = 2
x = 1/3

f(1/3) = 3·(1/3)^2 - 2·(1/3) + 1 = 2/3

Da f(x) eine nach oben geöffnete Parabel ist, haben wir ein Minimum bei (1/3 | 2/3)

Comments

f(x) = 3·x^3

f'(x) = 9·x^2

f''(x) = 18·x

Notwendige Bedingung für Extrempunkte und Sattelpunkte f'(x) = 0

9·x^2 = 0
x^2 = 0
x = 0

f(0) = 0

Da dieses eine doppelte Nullstelle ist, haben wir hier ein Sattelpunkt vorliegen. Eine Skizze kann das bestätigen.

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f(x) = 1/4·x^4 - 2/3·x^3 - 3/2·x^2

f'(x) = x^3 - 2·x^2 - 3·x = x·(x^2 - 2·x - 3)

f''(x) = 3·x^2 - 4·x - 3

Notwendige Bedingung für Extrempunkte und Sattelpunkte f'(x) = 0

x·(x^2 - 2·x - 3) = 0

x = -1 ∨ x = 0 ∨ x = 3

f(-1) = -7/12 --> Minimum

f(0) = 0 --> Maximum 

f(3) = - 45/4 --> Minimum