Wie aus der Ableitung die x-Koordinaten und Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt bestimmen?

Question

kann mir bitte jemand in Schritten zeigen, wie man von der Ableitung f' die x-Koordinaten aller Punkte bestimmt, in denen der Graph von f eine waagrechte Tangente besitzt? Zudem soll ermittelt werden, ob es sich um Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt.

f'(x)= x² + x - 6

Answer 1

Hi,

Du musst die Ableitung nur 0 setzen. Wir haben ja mit der Ableitung die Steigung an der gewünschten Stelle und eine waagerechte Tangente hat die Steigung 0.

x^2+x-6 = 0    |pq-Formel

x_(1) = 2 und x_(2) = -3

Ob es sich um Sattelpunkte oder Extrema handelt, findest Du über die zweite und dritte Ableitung raus.

f''(x) = 2x+1

f''(2) = 5 > 0   -> Tiefpunkt

f''(-3) = -5 < 0 -> Hochpunkt

Grüße

Answer 2

Wegen

$$ f'(x)= x^2+ x - 6=(x+3)(x-2)$$

ist offensichtlich, dass die erste Ableitung von \(f\) genau zwei einfache Nullstellen, d. h. Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, besitzt. Dies sind alle Stellen, an denen der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente besitzt, und sie müssen die Extremstellen von \(f\) sein. Sattelstellen gibt es nicht, sie müssten mindestens doppelte Nullstellen von \(f'\) sein, aber solche gibt es nicht. 

Die Funktion \(f\) ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit positivem Leitkoeffizienten. Sie weist also einen globalen \((-/+)\)-Vorzeichenwechsel auf. Aus dem sich daraus ergebenden Kurvenverlauf wird klar, dass \(f\) an der Stelle \(x=-3\) ein lokales Maximum und an der Stelle \(x=2\) ein lokales Minimum annimmt.

Das wäre eine mögliche Argumentation, die die vorhandenen Informationen auswertet und ohne viel Rechenarbeit auskommt.