Für welche Werte von v gilt |A| = |A^-1|?

Question

Aufgabe: Hallo! Folgende Aufgabenstellung:

Gegeben sei die matrix: A=(-4,2,1;2v,v,0;-6,-1,1). Mit v Element R. Für welche Werte von v gilt |A| = |A^-1|?

Problem/Ansatz:

ich hab die determinante von A ermittelt, die ist -4v. Die Determinante der Inversen ist det(A^-1) = 1/det(A) also -1/4v.

Wenn ich die gleichsetze, dann kommt bei mir v=±0,25 raus. Stimmt dann für v ± 0,25 gilt det(A^-1) = 1/det(A)?

Ich hab auch einen anderen Lösungsansatz, den ich aber nicht so ganz verstehe. Wenn die det(A^-1) = 1/det(A) und dann das in die Gleichung in der Angabe einsetzen haben wir: det(A) = 1/det(A), umgeformt dann: det(A)² = 1, also det(A) = ±1. Das soll man dann mit = 1 lösen und einmal mit -1, ich versteh aber nicht so ganz wie das gemeint ist. Kann mir da jemand weiterhelfen? Wieso ist die det(A) ± 1 und wo soll ich das einsetzen?

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.

Answer 1

Du hast fast alles richtig. Es gilt stets \(\det (A^{-1})=\frac1{\det A}\). Wenn Du diese Gleichung löst (mit Deinem \(\det A=-4 v\), stimmt), kommst Du auf \(v=\pm 0.25\). Fertig.

In Deiner zweiten Version kommst Du auf \(\det A=\pm 1\), wenn Du da Deine \(\det A=-4v\) einsetzt, kommst Du auf's gleiche Ergebnis (gibt ja zwei Möglichkeiten: \(\det A=1\) und \(\det A=-1\)).

Comments

also einfach wieder gleichsetzen? -> 1=-4v, v=-1/4 und -1=-4v, v=1/4, also dann dasselbe wie vorher: v = ± 0,25, oder?

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ganz genau - Du löst ja eine quadratische Gleichung, nämlich \((-4v)^2=1\), da gibt es ja auch immer zwei Fälle wg \(\pm\).

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aaaah, vielen Dank, ich habs jetzt verstanden! danke :))