Ermittel eine komplexe Zahl z_{2} ≠ 0 sodass

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die komplexe Zahl \( z_{1} \) mit
\( z_{1}=1+5 i \text {. } \)

Ermitteln Sie eine komplexe Zahl \( z_{2} \neq 0 \) sodass
a) \( z_{1}+z_{2} \) reell ist.
\( z_{2}= \)
b) \( z_{1} \cdot z_{2} \) reell ist.
\( z_{2}= \)
c) \( z_{1}+z_{2} \) und \( z_{1} \cdot z_{2} \) reell sind.
\( z_{2}= \)

Problem/Ansatz:

Meine Lösung: a= 1, b= 2 und c= 0: Danke im Voraus. Falls das falsch ist könnt ihr mir sagen was richtig wäre oder wie ?

Comments

Meine Lösung: a= 1,

Ist 1+5 i +1 wirklich reell?

b= 2 

Ist 2(1+5 i)  wirklich reell?

und c= 0

Ist 1+5 i +0 wirklich reell?

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danke dir und ist das also falsch ? oder was meinst du abakus? was hast du raus ? oder wie hast du das gerechnet ?

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danke dir und ist das also falsch ?

Ja.

oder wie hast du das gerechnet ?

Ich habe 1+5 i +1=2+5i gerechnet und festgestellt, dass das nicht reell ist.

Ich habe 2(1+5 i) =4+10i gerechnet und festgestellt, dass das nicht reell ist.

Ich habe 1+5 i +0=1+5i gerechnet und festgestellt, dass das nicht reell ist.

Der zweite Summand/der zweite Faktor sollte schon so sein, dass sich der imaginäre Anteil aufhebt,

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Hallo,

wenn du nicht auf die konjugiert komplexe Zahl kommst, kannst du es mit dem Ansatz z₂=x+yi versuchen.

(1+5i)+(x+yi) = 1+x + (5+y)i

Damit die Summe reell ist, muss der Imaginärteil 5+y=0 sein. Also y=-5. x kann beliebig gewählt werden. → z₂=x-5i

(1+5i)•(x+yi) = x-5y + (5x+y)i

Damit dass Produkt reell ist, muss 5x+y=0 sein, also y=-5x. Jetzt kannst du x≠0 beliebig wählen und erhältst y. Auch hier gibt es unendlich viele Lösungen. → z₂ = x -5xi

Damit sowohl Summe als auch Produkt reell sind, müssen beide Bedingungen erfüllt sein.

y=-5 und y=-5x → x=1 → z₂=1-5i

:-)

Answer 1

Aloha :)

Die Aufgabe zielt auf die komplex-konjugierte Zahl ab.

Dabei wird das Vorzeichen des Imaginärteils geändert.

Daher wählen wir \(z_2\) entsprechend:$$z_1=1+5i\quad;\quad z_2\coloneqq1\pink-5i$$

Wir prüfen kurz nach, ob die Bedingungen erfüllt sind:$$z_1+z_2=(1+5i)+(1-5i)=2\in\mathbb R\quad\checkmark$$$$z_1\cdot z_2=(1+5i)\cdot(1-5i)=1^2-(5i)^2=1-25i^2\stackrel{(i^2=-1)}{=}1+25=26\in\mathbb R\quad\checkmark$$

Comments

Und wieder einmal hat ein übereifriger Möchtegern-Helfer verhindert, dass die Fragestellerin Zeit hat, die Unsinnigkeit ihrer Ergebnisse zu reflektieren...

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Natürlich, was aber gerade bei dieser Frage sinnvoll ist. Sie zeigt nämlich, dass wirklich jegliches Verständnis für komplexe Zahlen fehlt.

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Haben eure Kommentare irgendeinen mathematischen Inhalt oder können die weg?

Answer 2

a)

\( z_{1}=1+5 i \)

\( z_{2}=1-5 i \)

\( z_{1}+z_{2}=1+5 i + 1-5 i=2\)

Comments

Das war doch schon lange geklärt.

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Danke dir! Alos meinst du das a=1+5i, b=1-5i und c= 2 ist?

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und c= 2 ist?

Dass c=2 (genauer gesagt: dass die Lösung bei c) "\(z_2=2"\) )  sein sollte, hat er nicht geschrieben.