Wie bestimme ich den C-Diffeomorphismus und das Volumen?

Question

Betrachten Sie für die Radien \( a_{1}, \ldots, a_{n}>0 \) das Ellipsoid
\(E_{n}:=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}: \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{x_{k}^{2}}{a_{k}^{2}}<1\right\} .\)
a) Geben Sie einen \( C^{1} \)-Diffeomorphismus \( \Phi: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}^{n} \) an mit \( \Phi\left(B_{1}(0)\right)=E_{n} \).
b) Bestimmen Sie das Volumen \( \lambda_{n}\left(E_{n}\right) \) in den Fällen \( n=2,3 \).

Als Hinweis weiß ich : \( \lambda_{2}\left(B_{1}(0)\right)=\pi \) und \( \lambda_{3}\left(B_{1}(0)\right)=\frac{4}{3} \pi \).

Answer 1

Ich würde den Transformationssatz für Integrale anwenden auf

$$\Phi: \R^n \to \R^n, \quad \Phi(y)=x \text{  mit }x_i:=a_i y_i$$