Volumen eines Kegelschnittes

Question

ich habe eine matheaufgabe gemacht und bin mir nicht sicher ob meine antwort richtig ist wäre super wenn mir jemand helfen könnte  :)

wenn man die ell.: 9x^2+25y^2=5625 und die hyp.: 16x^2-9y^2=2304 schneidet und die von den zwei kurven begrenzte fläche um die x-achse rotiert bekomme ich 11466,5 Volumeneinheiten

hoffentlich kann mir jemand helfen, schon mal danke :)

Answer 1

Um sich eine Vorstellung zu machen, wie die Ellipse und die Hyperbel aussehen, beide in Normalform (x²/a^{2 ±} y²/b² = 1) bringen:

Ellipse: e(x) |-> 9x²+25y²=5625 <> 3²x²+5²y²= 75² <> (3²x²+5²y²)/75² = 1 <> x²/25²+y²/15² = 1 -> a = 25 und b = 15

Hyperbel: h(x) |-> 16x² - 9y²=2304 <> 4²x²-3²y²= 48² <> (4²x²-3²y²)/48² = 1 <> x²/12²+y²/16² = 1 -> a = 12 und b = 16

Schnittpunkte zwischen Ellipse und Hyperbel berechnen:

16x² - 9y²=2304 -> 16x² =2304 + 9y² -> x² = (2304 + 9y²)/16 das in Ellipse-Gl. einsetzen -> 9*(2304 + 9y²)/16 + 25y²=5625 -> y _1/2 = ±12 -> mit x² = (2304 + 9y²)/16    x _1/2 = ± 15

Das heißt für die Flächenberechnung in x-Richtung denkend, dass im Intervall von 12 bis 15 die Funktion der Hyperbel relevant ist und im Intervall von 15 bis 25 die Ellipse relevant ist

Rotiert diese zusammengesetzte Fläche um die x-Achse, dann gilt das VolumenIntegral

V = π ∫₁₂¹⁵ [h(x)]² dx  + π ∫₁₅²⁵ [e(x)]² dx 

Die Herleitung spare ich mir hier. Als Ergebnis habe ich dann 3103, 44 VE erhalten.